Question

如圖所示，空間存在兩個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其分界線是半徑為R的圓，兩側(cè)的磁場(chǎng)方向相反且垂直于紙面，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小都為B．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電離子（不計(jì)重力）從A點(diǎn)沿OA方向射出．
求：
（1）離子在磁場(chǎng)中做勻速圓圈運(yùn)動(dòng)的周期；
（2）若向外的磁場(chǎng)范圍足夠大，離子自A點(diǎn)射出后在兩個(gè)磁場(chǎng)不斷地飛進(jìn)飛出，最后又能返回A點(diǎn)，求其返回A點(diǎn)的最短時(shí)間及對(duì)應(yīng)離子的速度．
（3）若向外的磁場(chǎng)是有界的，分布在以O(shè)點(diǎn)為圓心、半徑為R和2R的兩半圓之間的區(qū)域，上述離子仍從A點(diǎn)沿OA方向射出，且微粒仍能返回A點(diǎn)，求其返回A點(diǎn)的最短時(shí)間．（可能用到的三角函數(shù)值：sin37°=0.6，cos37°=0.8）

Answer 1

分析：（1）離子在磁場(chǎng)中由洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律和圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)求解離子在磁場(chǎng)中做勻速圓圈運(yùn)動(dòng)的周期；
（2）作出軌跡如圖，離子從A點(diǎn)射出后，分別經(jīng)過一次進(jìn)出向里的磁場(chǎng)返回A所用時(shí)間最短，得到時(shí)間與周期的關(guān)系式．由幾何知識(shí)求出軌跡的半徑，由半徑公式求解速度．
（3）離子的運(yùn)動(dòng)軌跡恰好不超出向外的磁場(chǎng)邊界時(shí)，離子的軌跡恰好與外邊界相切．畫出軌跡可知，離子分別進(jìn)出里磁場(chǎng)兩次時(shí)時(shí)間最短，由幾何知識(shí)求出離子軌跡半徑和運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答：解：（1）離子在磁場(chǎng)中由洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律可得
  qvB=m

v2

r

又周期為 T=

2πm

qB

   
解得，T=

2πm

qB

（2）作出軌跡如圖，離子從A點(diǎn)射出后，分別經(jīng)過一次進(jìn)出向里的磁場(chǎng)返回A所用時(shí)間最短，最短時(shí)間  tm=

11

6

T
將T=

2πm

qB

代入得：tm=

11πm

3qB

由圖可知：r=

3

R
由向心力公式得：qv1B=

m v 2 1

r

由以上兩式可得：v1=

3 qBR

m

（3）如圖由幾何知識(shí)可知離子運(yùn)動(dòng)軌跡不超出邊界須有：

r2+R2

+r≤2R    
得  r≤

3

4

R
如圖有：

r

R

=tan

π

n

，即：tan

π

n

≤

3

4

，解得：n≥4.86
由于n要取整數(shù)，所以n=5時(shí)，離子返回A的時(shí)間最短      
由離子軌跡得：

t

′ m

=2T+

7

10

T=

27

10

T
將T=

2πm

qB

代入上式得：

t

′ m′

=

27πm

10qB

答：
（1）離子在磁場(chǎng)中做勻速圓圈運(yùn)動(dòng)的周期是

2πm

qB

；
（2）返回A點(diǎn)的最短時(shí)間是

11πm

3qB

，對(duì)應(yīng)離子的速度是

3 qBR

m

．
（3）返回A點(diǎn)的最短時(shí)間為

27πm

10qB

．

點(diǎn)評(píng)：本題畫軌跡，根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的周期性分析什么條件時(shí)間最短是難點(diǎn)，要充分運(yùn)用幾何知識(shí)進(jìn)行分析．