Question

如圖所示，一半徑R=0.2m的水平圓盤(pán)繞過(guò)圓心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，圓盤(pán)邊緣有一質(zhì)量m=1.0kg的小滑塊．當(dāng)圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度逐漸增大到某一數(shù)值時(shí)，滑塊剛好從圓盤(pán)邊緣處滑落，進(jìn)入軌道ABC．已知AB段為光滑的圓弧形軌道，軌道半徑r=2.5m，B點(diǎn)是圓弧形軌道與水平地面的相切點(diǎn)，A點(diǎn)與B點(diǎn)的高度差h=1.2m；傾斜軌道BC與圓軌道AB對(duì)接且傾角為37°，滑塊與圓盤(pán)及BC軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.5，滑塊在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終未脫離軌道，不計(jì)滑塊在A點(diǎn)和B點(diǎn)處的機(jī)械能損失，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．
（1）求滑塊剛好從圓盤(pán)上滑落時(shí)，圓盤(pán)的角速度；
（2）求滑塊到達(dá)弧形軌道的B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小；
（3）滑塊從到達(dá)B點(diǎn)時(shí)起，經(jīng)0.6s正好通過(guò)C點(diǎn)，求BC之間的距離．

Answer 1

分析：（1）滑塊做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，指向圓心的靜摩擦力力提供向心力，靜摩擦力隨著外力的增大而增大，當(dāng)滑塊即將從圓盤(pán)上滑落時(shí)，靜摩擦力達(dá)到最大值，根據(jù)最大靜摩擦力等于向心力列式求解，可以求出滑塊即將滑落的臨界角速度；
（2）先求出A點(diǎn)的速度，再根據(jù)機(jī)械能的表達(dá)式求解出B點(diǎn)的速度，進(jìn)而在B點(diǎn)，由牛頓第二定律求解軌道對(duì)滑塊的支持力，再求解壓力；
（3）對(duì)滑塊受力分析，分別求出向上滑行和向下滑行的加速度，然后根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解出BC間的距離．

解答：解：（1）滑塊在圓盤(pán)上做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，靜摩擦力充當(dāng)向心力，由牛頓第二定律，
可得：μmg=mω²R           
代入數(shù)據(jù)解得：ω=

μg R

=

0.5×10 0.2

rad/s=5rad/s；   
（2）滑塊在A點(diǎn)時(shí)的速度：v_A=ωR=5×0.2m/s=1m/s    
滑塊在從A到B的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒：mgh+

1

2

mv_A²=

1

2

mv_B²
解得：v_B=

2gh+ v 2 A

=

2×10×1.2+12

m/s=5m/s    
在B點(diǎn)，由牛頓第二定律，可得：F_N-mg=m

v 2 B

r

解得：F_N=m

v 2 B

r

+mg=1.0×（

52

2.5

+10）N=20N，滑塊對(duì)軌道的壓力大小為20N．  
（3）滑塊沿BC段向上運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度大小：a₁=g（sin37°+μcos37°）=10m/s²   
滑塊沿BC段向上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：t₁=

vB

a1

=0.5s＜0.6s 故滑塊會(huì)返回一段時(shí)間    
向上運(yùn)動(dòng)的位移：S₁=

v 2 B

2a1

=1.25m        
返回時(shí)的加速度大�。篴₂=g（sin37°-μcos37°）=2m/s²   
S₂=

1

2

a₂（t-t₁）²=0.01m         
BC間的距離：s_BC=S₁-S₂=1.24m．
答：
（1）滑塊剛好從圓盤(pán)上滑落時(shí)，圓盤(pán)的角速度為5rad/s；
（2）滑塊到達(dá)弧形軌道的B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小為20N；
（3）滑塊從到達(dá)B點(diǎn)時(shí)起，經(jīng)0.6s正好通過(guò)C點(diǎn)，BC之間的距離為1.24m．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵把物體的各個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況分析清楚，然后結(jié)合動(dòng)能定理、牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解．