Question

如圖所示，在光滑水平面上有一xOy平面坐標(biāo)系，在坐標(biāo)系內(nèi)有一質(zhì)量m=1.0×10^-12kg，電量q=1.0×10^-13C的正電荷，從O點(diǎn)以速度v₀=3m/s沿x軸正方向射入，起初在xOy平面坐標(biāo)系內(nèi)加有沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)E₁=20N/C，電荷運(yùn)動(dòng)1秒后所加電場(chǎng)突然變?yōu)檠貀軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)E₂，又經(jīng)1秒電荷恰好返回x軸上某點(diǎn)，此時(shí)所加電場(chǎng)突然變?yōu)榇怪眡Oy平面向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，經(jīng)一段時(shí)間后電荷又返回O點(diǎn)．求：
（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)E₂的大�。�
（2）勻強(qiáng)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大�。�
（3）通過(guò)計(jì)算，在xOy平面坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出電荷的運(yùn)動(dòng)軌跡．

Answer 1

分析：（1）由牛頓第二定律分別求出兩電場(chǎng)中帶電粒子的加速度，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可求解；
（2）分析電荷返回x軸的運(yùn)動(dòng)，結(jié)合幾何關(guān)系、勻速圓周運(yùn)動(dòng)可求解；
（3）分段分析電荷的運(yùn)動(dòng)，利用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)，畫(huà)出軌跡圖．

解答：解：（1）由牛頓第二定律可得，電荷進(jìn)入坐標(biāo)系第1秒內(nèi)在y軸正方向有
a_y=

qE1

m

=

20×1×10-13

1×10-12

=2m/s²
運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，所以第1秒末，對(duì)于電荷應(yīng)有
電荷沿y軸正方向的速度：
v_y=a_yt=2×1=2m/s
位置為：
y₁=

1

2

a_yt²=

1

2

×2×1²=1m
x₁=v₀t=3×1=3m
又經(jīng)1秒后，返回x軸上某一點(diǎn)，在這1秒內(nèi)有-y₁=v_yt′-

1

2

a′t′2

a

′ y

=

qE2

m

聯(lián)立以上兩式，將已知值代入求得：E₂=60N/C
（2）電荷返回x軸上某點(diǎn)時(shí)，
電荷沿y軸負(fù)方向的速度

v

′ y

=-v_y+

a

′ y

t′=-2+6×1=4m/s
沿x軸正方向的速度：v_x=v₀=3m/s
所以速度v=

v02+ v ′2 y

=

32+42

=5m/s
此時(shí)電荷到達(dá)的位置為：y₂=o₂x₂=v₀（t+t′）=3×2=6m
由此可得，電荷到達(dá)x軸上（6，0）后，將做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)一段時(shí)間后返回O點(diǎn)，
根據(jù)電荷在（6，0）點(diǎn)的速度關(guān)系及幾何關(guān)系可得

x2 2

r

=

v ′ y

v

解得半徑：r=3.75m
又由：qvB=

mv2

r

，代入r解得磁感應(yīng)強(qiáng)度B=

40

3

T
（3）設(shè)當(dāng)電場(chǎng)變成E₂后，電荷經(jīng)時(shí)間t₁，沿y軸正方向的速度為零，則有
v_y=

a

′ y

t₁，
可得，t₁=

1

3

s
此段時(shí)間內(nèi)電荷在y軸正方向發(fā)生的位移：△y=

vy

2

t1=

1

3

m
電荷在x軸方向發(fā)生的位移：△x=v₀t₁=1m
此時(shí)電荷的坐標(biāo)為：y=y₁+△y=1+

1

3

=

4

3

m
x₃=x₁+△x=3+1=4m
然后，電荷從（4，

4

3

）點(diǎn)將做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，在

2

3

s時(shí)間內(nèi)返回x軸上的（6，0）點(diǎn)
最后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，回到O點(diǎn)，由以上分析結(jié)合（1）（2）問(wèn)的解答，畫(huà)出電荷運(yùn)動(dòng)
軌跡如圖所示
答：（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)E₂為60N/C；
（2）勻強(qiáng)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B為

40

3

T；
（3）在xOy平面坐標(biāo)系內(nèi)電荷的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：

點(diǎn)評(píng)：本題考查帶點(diǎn)粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵是理清粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，以及粒子的運(yùn)動(dòng)情況，結(jié)合幾何關(guān)系求解．