Question

如圖所示，一邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，質(zhì)量為m，電阻為R的正方形金屬框放置在傾角為θ的光滑絕緣斜面的底端，并用細(xì)線通過(guò)輕質(zhì)定滑輪與質(zhì)量為M的重物相連．磁場(chǎng)的方向垂直金屬框平面，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小只隨y方向變化，規(guī)律為B=B₀+ky，k為大于零的常數(shù)．假設(shè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中金屬框總有兩條邊與y軸平行，且金屬框不轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)金屬框沿y軸方向運(yùn)動(dòng)距離為h時(shí)速度達(dá)到最大．不計(jì)空氣阻力，斜面和磁場(chǎng)區(qū)域足夠大，重力加速度為g．求：
（1）金屬框的最大速度；
（2）金屬框從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到達(dá)到最大速度的過(guò)程中，金屬框中產(chǎn)生的焦耳熱；
（3）金屬框從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到達(dá)到最大速度的過(guò)程中，通過(guò)金屬框橫截面的電量．

Answer 1

分析：（1）金屬框切有兩條邊切割磁感線，都產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，最終的電動(dòng)勢(shì)大小為E=（B₂-B₁）Lv=kL²v，速度越大，電動(dòng)勢(shì)越大，電流越大，安培力F=（B₂-B₁）IL=KIL²，知安培力越大，對(duì)線框進(jìn)行受力分析，知線框向上做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)加速度減小到0，速度達(dá)到最大．
（2）金屬框從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到達(dá)到最大速度的過(guò)程中，電流在變，所以求金屬框中產(chǎn)生的焦耳熱只能通過(guò)能量的角度．重物和線框組成的系統(tǒng)，動(dòng)能增加，重力勢(shì)能減小，內(nèi)能增加，根據(jù)能量守恒求解．
（3）根據(jù)q=

.

I

△t=

△φ

R

，只要求出這段時(shí)間內(nèi)磁通量的變化量即可求出．

解答：解：（1）達(dá)到最大速度時(shí)，金屬框及物體的加速度為零，
有：Mg=T    
T=mgsin37°+F   
F=（B₂-B₁）IL=KIL²   
I=

(B2-B1)Lvm

R

=

kL2vm

R

解以上方程，可解得：
vm=

(M-msinθ)gR

k2L4

（2）設(shè)產(chǎn)生的焦耳熱為Q，根據(jù)能量守恒定律，
有Mgh-mghsinθ=

1

2

(M+m)vm2+Q
得：Q=(M-msinθ)gh-

(M+m)(M-msinθ)2g2R2

2k4L8

（3）q=

.

I

△t=

△φ

△tR

△t=

△φ

R

△φ=△B?L²=khL²
解得：q=

kL2h

R

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵會(huì)對(duì)物體進(jìn)行受力分析，判斷物體的運(yùn)動(dòng)狀況，以及能夠熟練運(yùn)用能量守恒定律進(jìn)行解題．