Question

【題目】如圖所示，裝置的左邊是足夠長(zhǎng)的光滑水平面，一輕質(zhì)彈簧左端固定，右端連接著質(zhì)量m=lkg的小物塊A，彈簧壓縮后被鎖定在某一長(zhǎng)度。裝置的中間是水平傳送帶，它與左右兩邊的臺(tái)面等高，并能平滑對(duì)接。傳送帶始終以v=2ms的速度逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。裝置的右邊是一光滑的曲面，質(zhì)量M=2kg的小物塊B從其上距水平臺(tái)面h=1.0m處由靜止釋放。已知物塊B與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，l=1.0m。設(shè)物塊A、B之間發(fā)生的是對(duì)心碰撞(碰撞時(shí)間極短)，碰撞后兩者一起向前運(yùn)動(dòng)且碰撞瞬間彈簧鎖定被解除。取g=10m/s2。

(1)求物塊B與物塊A第一次碰撞前的速度大��；

(2)若物塊B第一次與A分離后，恰好運(yùn)動(dòng)到右邊曲面距水平臺(tái)面h′=0.5m高的位置，求彈簧被鎖定時(shí)彈性勢(shì)能的大�。�

(3)在滿(mǎn)足(2)問(wèn)條件的前提下，兩物塊發(fā)生多次碰撞，且每次碰撞后分離的瞬間物塊A都會(huì)立即被鎖定，而當(dāng)它們?cè)俅闻鲎睬版i定被解除，求物塊A、B第n次碰撞后瞬間速度大小。(計(jì)算結(jié)果可用根號(hào)表示)

Answer 1

【答案】（1）物塊B與物塊A第一次碰撞前的速度大小為；（2）；（3），

【解析】

（1）B從最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到傳送帶最左端的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理列式求解物塊B與物塊A第一次碰撞前的速度大小；（2）根據(jù)動(dòng)量守恒定律求解兩物體碰后的共同速度；AB及彈簧系統(tǒng)由第一次解鎖位置到第一次恢復(fù)原長(zhǎng)位置，由能量關(guān)系求解彈簧被鎖定時(shí)彈性勢(shì)能；（3）分析兩物塊多次碰撞的物理過(guò)程，結(jié)合能量關(guān)系和動(dòng)量守恒定律，聯(lián)系數(shù)學(xué)知識(shí)歸納物塊A、B第n次碰撞后瞬間速度大小.

（1）若B在傳送帶上能一直減速運(yùn)動(dòng)，設(shè)它在最左端時(shí)的速度為v1前，則B從最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到傳送帶最左端的過(guò)程中由動(dòng)能定理：

解得v前1=4m/s>2m/s，則物塊B與物塊A第一次碰撞前的速度大小為4m/s；

（2）設(shè)B與A碰撞后瞬間的共同速度為v1后，對(duì)AB系統(tǒng)由動(dòng)量守恒定律：

分析可知，當(dāng)彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)AB分離，設(shè)B第一次離開(kāi)彈簧時(shí)速度為v1離，對(duì)B離開(kāi)彈簧到運(yùn)動(dòng)到h＇高度處由動(dòng)能定理：

對(duì)AB及彈簧系統(tǒng)由第一次解鎖位置到第一次恢復(fù)原長(zhǎng)位置，由能量守恒定律：

聯(lián)立解得：

（3）若B從h＇處下落后再傳送帶上能夠一直減速，則B從h＇運(yùn)動(dòng)到傳送帶最左端過(guò)程中由動(dòng)能定理：

解得，故物塊B與物塊A第二次碰撞前的速度大小為；B與A第二次碰撞的過(guò)程中，對(duì)AB系統(tǒng)：

解得；

B向右再次沖到傳送帶上若能在其上速度減為0，設(shè)其通過(guò)的位移為x，由動(dòng)能定理：

解得 故而B第三次與A相碰時(shí)速度仍為；

再由：

解得；

推理可知B與A第n次碰撞后速度大小表達(dá)式為：

根據(jù)以上分析可知：，（n=2，3，4…）