Question

如圖所示，相距為d的平行金屬板M、N間存在勻強(qiáng)電場(chǎng)和垂直紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度為Bo的勻強(qiáng)磁場(chǎng)；在xoy直角坐標(biāo)平面內(nèi)，第一象限有沿y軸負(fù)方向場(chǎng)強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)，第四象限有垂直坐標(biāo)平面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．一質(zhì)量為m、電量為q的正離子（不計(jì)重力）以初速度Vo沿平行于金屬板方向射入兩板間并做勻速直線運(yùn)動(dòng)．從P點(diǎn)垂直y軸進(jìn)入第一象限，經(jīng)過(guò)x軸上的A點(diǎn)射出電場(chǎng)，進(jìn)入磁場(chǎng)．已知離子過(guò)A點(diǎn)時(shí)的速度方向與x軸成45°角．求：
（1）金屬板M、N間的電壓U；
（2）離子運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)速度V的大小和由P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)所需時(shí)間t；
（3）離子第一次離開(kāi)第四象限磁場(chǎng)區(qū)域的位置C（圖中未畫(huà)出）與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離OC．

Answer 1

分析：（1）由離子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則有電場(chǎng)力等于洛倫茲力，從而根據(jù)U=Ed，可確定金屬板M、N間的電壓U；
（2）離子在第一象限做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，由出射角度可得到入射速度與出射速度的關(guān)系；將類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)分解x、y軸兩方向，再由牛頓第二定律與運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可算出離子運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)速度V的大小和由P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)所需時(shí)間t；
（3）根據(jù)離子做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，由位移公式確定離子沿x軸方向的距離，再由離子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)幾何知識(shí)，確定半徑與已知長(zhǎng)度的關(guān)系，從而算出OC距離．

解答：解：（1）設(shè)平行金屬板M、N間勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)為Eo，
則有：U=E_od
因?yàn)殡x子在金屬板方向射入兩板間，并做勻速直線運(yùn)動(dòng)
則有：qE_o=qv_oB_o
解得：金屬板M、N間的電壓U=B_ov_od
（2）在第一象限的電場(chǎng)中離子做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，
則有：cos45o=

vo

v

故離子運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)的速度：v=

2

vo
牛頓第二定律：qE=ma
又 v_y=at
且tan45o=

vy

vo

解得，離子在電場(chǎng)E中運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)所需時(shí)間：t=

mvo

qE

（3）在磁場(chǎng)洛倫茲力提供向心力，
則有：qvB=m

v2

R

解得：R=

mv

qB

=

2 mvo

qB

由幾何知識(shí)可得

.

AC

=2Rcos45o=

2

R=

2mvo

qB

又

.

OA

=vot=

mvo2

qE

因此離子第一次離開(kāi)第四象限磁場(chǎng)區(qū)域的位置C與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離
則有：

.

OC

=

.

OA

+

.

AC

=

mvo2

qE

+

2mvo

qB

答：（1）金屬板M、N間的電壓B_ov_od；
（2）離子運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)速度V的大小和由P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)所需時(shí)間

mv0

qE

；
（3）離子第一次離開(kāi)第四象限磁場(chǎng)區(qū)域的位置C（圖中未畫(huà)出）與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離

m v 2 0

qE

+

2mv0

qB

．

點(diǎn)評(píng)：考查了電場(chǎng)力與洛倫茲力平衡時(shí)的勻速直線運(yùn)動(dòng)，僅僅由電場(chǎng)力做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，還有僅僅由洛倫茲力提供向心力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，學(xué)會(huì)如何處理類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)及勻速圓周運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，形成一定的解題能力．同時(shí)注意幾何知識(shí)的熟練應(yīng)用，并強(qiáng)調(diào)洛倫茲力的方向的重要性．