Question

（2011?海淀區(qū)一模）如圖所示，一個(gè)物塊A（可看成質(zhì)點(diǎn)）放在足夠長(zhǎng)的平板小車B的右端，A、B一起以v₀的水平初速度沿光滑水平面向左滑行．左邊有一固定的豎直墻壁，小車B與墻壁相碰，碰撞時(shí)間極短，且碰撞前、后無(wú)動(dòng)能損失．已知物塊A與小車B的水平上表面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g．
（1）若A、B的質(zhì)量均為m，求小車與墻壁碰撞后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，物塊A所受摩擦力的沖量大小和方向；
（2）若A、B的質(zhì)量比為k，且k＜1，求物塊A在小車B上發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中物塊A對(duì)地的位移大小；
（3）若A、B的質(zhì)量比為k，且k=2，求小車第一次與墻壁碰撞后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程所經(jīng)歷的總時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）碰后動(dòng)量守恒，根據(jù)動(dòng)量守恒和動(dòng)量定理列方程可求得結(jié)果．
（2）碰后A、B作用過(guò)程中系統(tǒng)動(dòng)量守恒，最終AB速度相同，根據(jù)動(dòng)量守恒和能量守恒列方程可正確解答．
（3）分析清楚運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，由于摩擦的存在，經(jīng)B與墻壁多次碰撞后最終A、B一起停在墻角，每次碰后系統(tǒng)動(dòng)量守恒，根據(jù)動(dòng)量守恒、功能關(guān)系列方程求出每次碰撞后運(yùn)動(dòng)時(shí)間，然后找出規(guī)律，利用數(shù)學(xué)知識(shí)求解即可．

解答：解：（1）設(shè)小車B與墻碰撞后物塊A與小車B所達(dá)到的共同速度大小為v，設(shè)向右為正方向，則由動(dòng)量守恒定律得：
    mv₀-mv₀=2mv
解得：v=0．
對(duì)物塊A，由動(dòng)量定理得摩擦力對(duì)物塊A的沖量：I=0-（-mv₀）=mv₀，沖量方向水平向右．
故物塊A所受摩擦力的沖量大小為I=mv₀，方向水平向右．
（2）設(shè)A和B的質(zhì)量分別為km和m，小車B與墻碰撞后物塊A與小車B所達(dá)到的共同速度大小為v′，木塊A的位移大小為s．設(shè)向右為正方向，則由動(dòng)量守恒定律得：則
mv₀-kmv₀=（m+km）v′
解得：v′=

1-k

1+k

v0
對(duì)木塊A由動(dòng)能定理得：
 -μkmgs=

1

2

kmv′2-

1

2

km

v

2 0

代入數(shù)據(jù)解得：s=

2k v 2 0

μg(1+k)2

．
故物塊A在小車B上發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中物塊A對(duì)地的位移大小為：s=

2k v 2 0

μg(1+k)2

．
（3）當(dāng)k=2時(shí)，根據(jù)題意由于摩擦的存在，經(jīng)B與墻壁多次碰撞后最終A、B一起停在墻角．A與B發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₀可等效為A一直做勻減速運(yùn)動(dòng)到速度等于0的時(shí)間，在A與B發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)的整個(gè)過(guò)程，對(duì)A應(yīng)用動(dòng)量定理：-2mgμt₀=0-2mv₀
解得時(shí)間：t0=

v0

μg

，
設(shè)第1次碰后A、B達(dá)到的共同速度為v₁，B碰墻后，A、B組成的系統(tǒng)，沒(méi)有外力作用，水平方向動(dòng)量守恒，設(shè)水平向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律，得：
mv₀-2mv₀=（2m+m）v₁
即：v1=-

1

3

v0（負(fù)號(hào)表示v₁的方向向左）
第1次碰后小車B向左勻速運(yùn)動(dòng)的位移等于向右勻減速運(yùn)動(dòng)到速度大小為v₁這段運(yùn)動(dòng)的位移s₁
對(duì)小車B，由動(dòng)能定理得-μ2mgs₁=

1

2

mv₁²-

1

2

mv₀²
解得：s₁=

2 v 2 0

9μg

第1次碰后小車B向左勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t1=

s1

v1

=

2v0

3μg

設(shè)第2次碰后共速為v₂，由動(dòng)量守恒定律，得：mv₁-2mv₁=（2m+m）v₂
即：v2=

1

3

v1=-

1

32

v0
第2次碰后小車B向左勻速運(yùn)動(dòng)的位移等于向右勻減速運(yùn)動(dòng)到速度大小為v₂這段運(yùn)動(dòng)的位移s₂，對(duì)小車B，由動(dòng)能定理得：
-μ2mgs₂=

1

2

m v₂²-

1

2

mv₁²
解得：s₂=

1

92

?

2 v 2 0

μg

第2次碰后小車B向左勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t2=

s2

v2

=

2v0

32μg

同理，設(shè)第3次碰后共速為v₃，碰后小車B向左勻速運(yùn)動(dòng)的位移為s₃，則由動(dòng)量守恒定律，得：v3=

1

3

v2=-

1

33

v0
s₃=

1

93

?

2 v 2 0

μg

第3次碰后小車B向左勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t3=

s3

v3

=

2v0

33μg

由此類推，第n次碰墻后小車B向左勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)間：tn=

2v0

3nμg

．
第1次碰墻后小車B向左勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)間即B從第一次撞墻后每次向左勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)間為首項(xiàng)為t₁，末項(xiàng)為t_n，公比為

1

3

的無(wú)窮等比數(shù)列．即B從第一次與墻壁碰撞后勻速運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間t勻=t1+t2+t3+…+tn=

v0

μg

故從第一次B與墻壁碰撞后運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間：t總=t0+t勻=

2v0

μg

．

點(diǎn)評(píng)：本題全面考查了動(dòng)量守恒和功能關(guān)系的應(yīng)用，尤其是第（3）問(wèn)，要通過(guò)關(guān)系式找出規(guī)律，考查了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題的能力．