Question

【題目】游樂(lè)場(chǎng)的過(guò)山車可以底朝上在圓軌道上運(yùn)行，游客卻不會(huì)掉下來(lái)，如圖甲所示，我國(guó)把這種情形抽象為如圖乙所示的模型：弧形軌道的下端N與豎直圓軌道平滑相接，P為圓軌道的最高點(diǎn)，使小球（0可視為質(zhì)點(diǎn)）從弧形軌道上端滾下，小球進(jìn)入圓軌道下端后沿圓軌道運(yùn)動(dòng)。不考慮小球運(yùn)動(dòng)所受的摩擦力等阻力。

（1）小球沿弧形軌道運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，經(jīng)過(guò)某一位置A時(shí)動(dòng)能為，重力勢(shì)能為，經(jīng)過(guò)另一位置B時(shí)動(dòng)能為，重力勢(shì)能為，請(qǐng)根據(jù)動(dòng)能定理和重力做功的特點(diǎn)，證明：小球由A運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中，總的機(jī)械能保持不變，即；

（2）已知圓形軌道的半徑為R，將一質(zhì)量為m1的小球，從弧形軌道距地面高h=2.5R處由靜止釋放。

a請(qǐng)通過(guò)分析、計(jì)算，說(shuō)明小球能否通過(guò)圓軌道的最高點(diǎn)P；

b如果在弧形軌道的下端N處?kù)o置另一個(gè)質(zhì)量為m2的小球。仍將質(zhì)量為m1的小球，從弧形軌道距地面高h=2.5R處?kù)o止釋放，兩小球?qū)�發(fā)生彈性正撞。若要使被碰小球碰后能通過(guò)圓軌道的最高點(diǎn)P，那么被碰小球的質(zhì)量m2需要滿足什么條件？請(qǐng)通過(guò)分析、計(jì)算、說(shuō)明你的理由。

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）a、能過(guò)最高點(diǎn)；b、當(dāng)滿足時(shí)，小球被碰后能通過(guò)圓軌道的最高點(diǎn)P

【解析】

（1）根據(jù)動(dòng)能定理，根據(jù)重力做功的特點(diǎn)可知

聯(lián)立解得，整理可得

（2）a、假設(shè)小球剛好能過(guò)最高點(diǎn)，在最高點(diǎn)時(shí)小球只受重力作用，此時(shí)重力提供向心力

解得小球能過(guò)最高點(diǎn)的最小速度為

小球從M到P，設(shè)小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)P時(shí)的速度為vp

根據(jù)機(jī)械能守恒定律

解得，即小球剛好能過(guò)最高點(diǎn)；

b、以小球為研究對(duì)象，設(shè)小球運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)時(shí)的速度為，

從M到N，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，以兩個(gè)小球?yàn)檠芯繉?duì)象，碰后兩小球的速度分別為

根據(jù)動(dòng)量守恒定律

根據(jù)能量守恒定律

聯(lián)立即得小球碰后的速度

因?yàn)樾∏?/span>從h=2.5R處滾下時(shí)恰好能過(guò)最高點(diǎn)，所以只要在N點(diǎn)被碰后的速度，就能過(guò)最高點(diǎn)，從上式中分析可以得到，當(dāng)時(shí)，可得，所以當(dāng)滿足時(shí)，小球被碰后能通過(guò)圓軌道的最高點(diǎn)P。