Question

（25分）如圖所示，兩個金屬輪 A₁、A₂，可繞通過各自中心并與輪面垂直的固定的光滑金屬細(xì)軸 O₁ 和 O₂ 轉(zhuǎn)動，O₁ 和 O₂ 相互平行，水平放置。每個金屬輪由四根金屬輻條和金屬環(huán)組成，A₁ 輪的輻條長為 a₁、電阻為 R₁，A₂ 輪的輻條長為 a₂、電阻為 R₂，連接輻條的金屬環(huán)的寬度與電阻都可以忽略。半徑為 a₀ 的絕緣圓盤 D 與 A₁ 同軸且固連在一起。一輕細(xì)繩的一端固定在 D 邊緣上的某點(diǎn)，繩在 D 上繞足夠匝數(shù)后，懸掛一質(zhì)量為 m 的重物 P 。當(dāng) P 下落時，通過細(xì)繩帶動 D 和 A₁ 繞 O₁ 軸轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)動過程中，A₁、A₂ 保持接觸，無相對滑動；兩輪與各自細(xì)軸之間保持良好的電接觸；兩細(xì)軸通過導(dǎo)線與一阻值為 R 的電阻相連。除 R 和 A₁、A₂ 兩輪中輻條的電阻外，所有金屬的電阻都不計。整個裝置處在磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B 的勻強(qiáng)磁場中，磁場方向與轉(zhuǎn)軸平行�，F(xiàn)將 P 釋放，試求 P 勻速下落時的速度。

Answer 1

參考解答：

P 被釋放后，細(xì)繩的張力對 D 產(chǎn)生機(jī)械力矩，帶動 D 和A₁ 作逆時針的加速轉(zhuǎn)動，通過兩個輪子之間無相對運(yùn)動的接觸，A₁ 帶動 A₂ 作順時針的加速轉(zhuǎn)動。由于兩個輪子的輻條切割磁場線，所以在 A₁ 產(chǎn)生由周邊沿輻條指向軸的電動勢，在 A₂ 產(chǎn)生由軸沿輻條指向周邊的電動勢，經(jīng)電阻 R 構(gòu)成閉合電路。A₁ 、A₂ 中各輻條上流有沿電動勢方向的電流，在磁場中輻條受到安培力。不難看出，安培力產(chǎn)生的電磁力矩是阻力矩，使 A₁ 、A₂ 加速轉(zhuǎn)動的勢頭減緩。A₁ 、A₂ 從起始的靜止?fàn)顟B(tài)逐漸加速轉(zhuǎn)動，電流隨之逐漸增大，電磁阻力矩亦逐漸增大，直至電磁阻力矩與機(jī)械力矩相等，D、A₁ 和 A₂ 停止作加速轉(zhuǎn)動，均作勻角速轉(zhuǎn)動，此時 P 勻速下落，設(shè)其速度為 v，則 A₁ 的角速度

（1）

A₁ 帶動 A₂ 轉(zhuǎn)動，A₂ 的角速度 與 A₁ 的角速度 之間的關(guān)系為

　（2）

A₁ 中每根輻條產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢均為

（3）

軸與輪邊之間的電動勢就是 A₁ 中四條輻條電動勢的并聯(lián)，其數(shù)值見（3）式。

同理，A₂ 中，軸與輪邊之間的電動勢就是 A₂ 中四條輻條電動勢的并聯(lián)，其數(shù)值為

　 （4）

A₁ 中，每根輻條的電阻為 R₁，軸與輪邊之間的電阻是 A₁ 中四條輻條電阻的并聯(lián)，其數(shù)值為

（5）

A₂ 中，每根輻條的電阻為 R₂，軸與輪邊之間的電阻是 A₂ 中四條輻條電阻的并聯(lián)，其數(shù)值為

（6）

A₁ 輪、A₂ 輪和電阻 R 構(gòu)成串聯(lián)回路，其中的電流為

　（7）

以（1）至（6）式代入（7）式，得

（8）

當(dāng) P 勻速下降時，對整個系統(tǒng)來說，重力的功率等于所有電阻的焦耳熱功率之和，即

（9）

以（8）式代入（9）式得

（10）