Question

（2006?湖北模擬）如圖所示，在空間存在這樣一個磁場區(qū)域，以MN為界，上部分的均強磁場的磁感應強度為B₁，下部分的勻強磁場的磁感應強度為B₂，B₁=2B₂=2B₀，方向均垂直紙面向內，且磁場區(qū)域足夠大．在距離界線為h的P點有一帶負電荷的離子處于靜止狀態(tài)，某時刻該離子分解成為帶電荷的粒子A和不帶電的粒子B，粒子A質量為m、帶電荷q，以平行于界線MN的速度向右運動，經過界線MN時的速度方向與界線成60°角，進入下部分磁場．當粒子B沿與界線平行的直線到達位置Q點時，恰好又與粒子A相遇．不計粒子的重力．
（1）P、Q兩點間距離．
（2）粒子B的質量．

Answer 1

分析：（1）粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動，由牛頓第二定律及向心力公式可求得半徑及周期，再由幾何關系即可解得P、Q間的距離；
（2）由A的運動過程可求得A從P到Q所經歷的時間，再由運動學公式可求得B的運動速度；由半徑公式可求得A的速度；由動量守恒即可求得粒子B的質量．

解答：解：
（1）粒子A在勻強磁場中做勻速圓周運動，洛侖茲力提供向心力，設粒子A的速度為v₁，在MN上方運動半徑為R₁，運動周期為T₁，
根據牛頓第二定律和圓周運動公式，qv1B1=m

v 2 1

R1

   ①
解得 R1=

mv1

qB1

=

mv1

2qB0

  ②
T1=

2πR1

v1

=

πm

qB0

 ③
同理，粒子A在MN下方運動半徑R₂和周期T₂分別為
R2=

mv1

qB0

=2R1   ④
T2=

2πm

qB0

=2T1   ⑤
粒子A由P點運動到MN邊界時速度與MN的夾角為60°，如圖所示，則有

R₁-h=R₁cos60°，得到：R₁=2h  
R₂=4h  
PQ間的距離為   PQ=2R₂sin60°-2R₁sin60°=2

3

h ⑥
（2）粒子A從P點到Q點所用時間為t=

2

6

T1+

2

3

T2=

5πm

3qB0

 ⑦
設粒子B的質量為M，從P點到Q點速度為v=

. PQ

t

=

6 3 hqB0

5πm

 ⑧
由 R1=2h=

mv0

2qB0

  ⑨
得到   mv₀=4qB₀h     ⑩
根據動量守恒定律 mv₀-Mv=0 
解得：M=

10 3 πm

9

≈6m
答：（1）PQ兩點間的距離為2

3

h；（2）粒子B的質量為6m．

點評：解決帶電粒子在磁場中的運動時，關鍵在于能夠找出圓心和半徑，同時能正確利用幾何關系進行分析求解．