Question

如圖所示，在直角坐標系 xoy 的第一象限內存在沿 y 軸負方向、場強為 E 的勻強電場,在第四象限內存在垂直紙面向外、磁感應強度為 B 的勻強磁場，在磁場與電場分界線的 x 軸上有一無限大的薄隔離層．一質量為 m 、電量為+ q 、初速度為零的帶電粒子，從坐標為（ x ₀ ，y ₀ ）的 P 點開始被電場加速，經隔離層垂直進入磁場，粒子每次穿越隔離層的時間極短，且運動方向不變，其穿越后的速度是每次穿越前速度的 k 倍（ k < 1）．不計帶電粒子所受重力．求：

（1）帶電粒子第一次穿越隔離層進入磁場做圓周運動的半徑 R ₁ ；

（2）帶電粒子第二次穿越隔離層進入電場達到最高點的縱坐標  y₁ ；

（3）從開始到第三次穿越隔離層所用的總時間  t ；

（4）若帶電粒子第四次穿越隔離層時剛好到達坐標原點 O，則 P 點橫坐標 x₀ 與縱坐標 y₀ 應滿足的關系．

Answer 1

見解析

【解析】（1）第一次到達隔離層時速度為v₀

qEy_o = mv_o² ，v₀ =  

第一次穿越隔離層后速度為v₁ = k

由qv₁B=m，得第一次在磁場中做圓周運動半徑為 R₁==

（2）第二次穿越隔離層后速度為v₂ = k²

— qEy₁ = 0 — mv₂² ，得y₁ = k⁴ y₀

（3）由y_o=t₀² ，得第一次到達隔離層的時間為 t₀ =

圓周運動的周期T =       

第一次在磁場中做圓周運動時間為 t₁ ==

第二次穿越隔離層后到達最高點時間為 t₂ =  = k ²

從開始到第三次穿越隔離層所用總時間

t = t₀ + t₁ + 2t₂ =（1+2 k²）+

（4）第三次穿越隔離層后的速度為v ₃= k ³

第二次在磁場中做圓周運動半徑為R₂ =

x₀= 2R₁ + 2R₂ = ( 2 k+2 k ³ )   

評分標準：（1）問6分，（2）問4分，（3）問4分，（4）問4分．共18分．