Question

【題目】神奇的黑洞是近代引力理論所預(yù)言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測(cè)雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律．天文學(xué)家觀測(cè)河外星系大麥哲倫云時(shí)，發(fā)現(xiàn)了雙星系統(tǒng)，它由可見(jiàn)星和不可見(jiàn)的暗星構(gòu)成，兩星視為質(zhì)點(diǎn)，不考慮其他天體的影響． 、圍繞兩者連線(xiàn)上的點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們之間的距離保持不變，如圖所示．引力常量為，由觀測(cè)能夠得到可見(jiàn)星的速率和運(yùn)行周期．

(1)可見(jiàn)星所受暗星的引力可等效為位于點(diǎn)處質(zhì)量為的星體（視為質(zhì)點(diǎn)）對(duì)它的引力，設(shè)和的質(zhì)量分別為、，試求（用、表示）．

(2)求暗星的質(zhì)量與可見(jiàn)星的速率、運(yùn)行周期和質(zhì)量之間的關(guān)系式．

(3)恒星演化到末期，如果其質(zhì)量大于太陽(yáng)質(zhì)量的倍，它將有可能成為黑洞．若可見(jiàn)星的速率，運(yùn)行周期，質(zhì)量，試通過(guò)估算來(lái)判斷暗星有可能是黑洞嗎？

（， ）

Answer 1

【答案】（）．（）．（）暗星有可能星黑洞

【解析】（）設(shè)、兩顆星的軌道半徑分別為、，由題意可知， 、兩顆星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度相同，設(shè)其為，由牛頓定律可知，有

， ， ．

設(shè)、兩顆星之間的距離為，又，由上述各式得

．①

由萬(wàn)有引力定律，有將①代入得．

令，比較可得．②

（）由牛頓第二定律，有．③

又可見(jiàn)星的軌道半徑．④

由②③④式解得．⑤

（）將代入⑤式，得，代入數(shù)據(jù)得．⑥

設(shè)，將其代入⑥式，得．⑦

可見(jiàn)，分的值隨的值隨的增大而增大，試令，得．⑧

若使⑦式成立，則必大于，即暗星的質(zhì)量必大于，由此得出結(jié)論：暗星有可能是黑洞．得出結(jié)論，暗星有可能是黑洞．