Question

如圖所示，質(zhì)量均為m、電荷量均為q的帶負(fù)電的一簇粒子從P₁（-a，b）點(diǎn)以相同的速率v₀在：xoy平面內(nèi)朝x軸上方的各個(gè)方向射出（即0＜θ≤π），不計(jì)重力及粒子間的相互作用，且已知a足夠大．
（1）試在圖（甲）中的適當(dāng)位置和區(qū)域加一垂直于xoy平面、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，使這簇帶電粒子通過該磁場后都沿平行于x軸方向運(yùn)動．在圖中定性畫出所加的最小磁場區(qū)域邊界的形狀和位置．
（2）試在圖（乙）中的某些區(qū)域加垂直于xoy平面、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，使從P₁點(diǎn)發(fā)出的這簇帶電粒子通過磁場后都能通過P₂（a，b）點(diǎn)．要求：
①說明所加磁場的方向，并在圖中定性畫出所加的最小磁場區(qū)域邊界的形狀和位置；
②定性畫出沿圖示v₀方向射出的帶電粒子運(yùn)動的軌跡；
③寫出所加磁場區(qū)域與xoy平面所成截面邊界的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動，設(shè)帶電粒子從A點(diǎn)離開磁場區(qū)域，A點(diǎn)坐標(biāo)為（x、y），運(yùn)用數(shù)學(xué)上參數(shù)方程的方法得出A點(diǎn)的坐標(biāo)的兩個(gè)參數(shù)方程，即可求出磁場邊界的軌跡方程，由數(shù)學(xué)知識求出邊界的形狀和位置．
（2）根據(jù)對稱性可得出在P₂處所加的磁場最小區(qū)域的形狀和位置，再畫出軌跡．

解答：解：（1）設(shè)帶電粒子從A點(diǎn)離開磁場區(qū)域，A點(diǎn)坐標(biāo)為（x、y），粒子旋轉(zhuǎn)的半徑為R，旋轉(zhuǎn)的圓心在C點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)圓心角為α，則
   x=一a+Rsinα，
   y=R-Rcosα，
解得（x+a）²+（y-R）²=R²．
可見，所加磁場的邊界的軌跡是一個(gè)以（-a，R）為圓心，
半徑為R=

mv0

Bq

的圓．該圓位于x軸上方且與P₁點(diǎn)相切．
（2）根據(jù)對稱性可得出在P₂處所加的磁場最小區(qū)域也是圓，同理可求得其方程為（x-a）²+（y-R）²=R² 
圓心為（a，R），半徑為R=

mv0

Bq

，
由數(shù)學(xué)知識可知該圓位于x軸上方且與P₂點(diǎn)相切；
根據(jù)左手定則判斷得知，磁場方向垂直于xOy平面向里；
沿圖示v₀方向射出的帶電粒子運(yùn)動的軌跡如圖所示．
答：
（1）所加磁場的邊界的軌跡是一個(gè)以（-a，R）為圓心，半徑為R=

mv0

Bq

的圓．該圓位于x軸上方且與P₁點(diǎn)相切．
（2）①所加磁場的方向垂直于xOy平面向里；在圖中定性畫出所加的最小磁場區(qū)域邊界的形狀是圓，該圓位于x軸上方且與P₂點(diǎn)相切．如上圖所示；
②定性畫出沿圖示v_o方向射出的帶電粒子運(yùn)動的軌跡如圖；
③所加磁場區(qū)域與xOy平面所成截面邊界的軌跡方程為（x-a）²+（y-R）²=R²．圓心為（a，R），半徑為R=

mv0

Bq

．

點(diǎn)評：本題關(guān)鍵是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決帶電粒子的軌跡問題，采用參數(shù)方程的方法，并抓住對稱性進(jìn)行分析．