Question

如圖所示，將傾角θ=30°、表面粗糙的斜面固定在地面上，用一根輕質細繩跨過兩個光滑的半徑很小的滑輪連接甲、乙兩物體（均可視為質點），把甲物體放在斜面上且細繩與斜面平行，把乙物體懸在空中，并使細繩拉直且偏離豎直方向α=60°．開始時甲、乙均靜止．現同時釋放甲、乙兩物體，乙物體將在豎直平面內往返運動，測得繩長OA為l=0.5m，當乙物體運動經過最高點和最低點時，甲物體在斜面上均恰好未滑動，已知乙物體的質量為  m=1kg，忽略空氣阻力，取重力加速度g=10m/s²，求：
（1）乙物體在豎直平面內運動到最低點時的速度大小以及所受的拉力大��；
（2）甲物體的質量以及斜面對甲物體的最大靜摩擦力的大小；
（3）斜面與甲物體之間的動摩擦因數μ（設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力）．

Answer 1

分析：（1）根據動能定理求出乙物體運動到最低點的速度，在最低點，拉力和重力的合力提供圓周運動的向心力．
（2）乙物體擺到最低點時拉力最大，擺到最高點時拉力最下，知乙物體擺到最低點時，甲物體達到向下的最大靜摩擦力，擺到最高點時，甲物體有向上的最大靜摩擦力．分別求出乙物體在最高點和最低點繩子的拉力，然后對甲物體列出平衡方程，解出甲物體的質量和最大靜摩擦力大�。�
（3）根據f=μF_n求出斜面與甲物體的動摩擦因數．

解答：解：（1）根據動能定理得，mgL（1-cosα）=

1

2

mv2
      代入數據，則v=

5

m/s
T-mg=m

v2

L

，則T=mg+m

v2

L

=10+1×

5

0.5

N=20N
故乙物體擺到最低點的速度為

5

m/s，此時繩子的拉力為20N．
（2）物體擺到最低點時繩子的拉力F₁=20N
物體擺到最高點時有：mgcosα=F₂=5N．
對甲物體有：F₁=f_m+m_甲gsinθ
           F₂+f_m=m_甲gsinθ
聯(lián)立兩式解得：f_m=7.5N，m_甲=2.5kg
（3）最大靜摩擦力等于滑動摩擦力．則有f_m=μmgcosθ
所以μ=

fm

m甲gcosθ

=

7.5

25× 3 2

≈0.35
故斜面與甲物體之間的動摩擦因數μ為0.35．

點評：解決本題的關鍵知道乙物體擺到最低點時有最大拉力，擺到最高點時有最小拉力．以及知道在乙物體擺到最低點時有沿斜面向下的最大靜摩擦力，擺到最高點時有沿斜面向上的最大靜摩擦力．