Question

如圖11所示，一個半徑為R，水平放置的光滑圓環(huán)形軌道上，有兩個可自由運動的小球，其質(zhì)量分別為m和M，小球的直徑略小于兩軌道的間距�，F(xiàn)有一個質(zhì)量和長度均可忽略的彈簧，將兩小球分別頂在彈簧兩端，用細(xì)線將小球壓緊彈簧后捆綁在一起。試求：

(1)如果細(xì)線斷了，彈簧將兩小球沿相反方向彈射出去，而彈簧離開軌道，兩小球?qū)⒃谲壍篮翁幇l(fā)生碰撞?(如圖，用θ_M表示)；

(2)設(shè)彈簧被壓縮時的彈性勢能為E₀,問從兩球彈出到發(fā)生第一次碰撞的時間間隔t；

(3)若碰撞是完全彈性碰撞，問兩球在第一次發(fā)生碰撞后，又在何處發(fā)生第二次碰撞?

Answer 1

(1)θ_M=

(2)t=πR

(3)第二次碰撞發(fā)生了開始斷線處。

解析：(1)設(shè)兩小球被彈開后的速度分別為v_M、v_m，線斷并彈出兩球的過程中，不受其他外力，系統(tǒng)的動量守恒：

Mv_M=mv_m  即

兩小球被彈開后都做勻速圓周運動，到兩球發(fā)生第一次碰撞時，M、m轉(zhuǎn)過的角度分別為θ_M、θ_m。則：

又θ_M+θ_m=2π

所以：  得θ_m=

(2)彈出小球的過程，機械能守恒，得+=E₀

又

得v_M=

所以t=

(3)設(shè)v′_M、v′_m分別為兩小球第一次碰撞后的速度，則對于兩球的第一次碰撞過程有：

mv_m-Mv_M=Mv′_M-mv′_m=0

可見

由能量守恒得Mv′+mv′=E₀

∴v′_M=v_M      v′_m=v_m。

第二次碰撞發(fā)生在開始斷線處。