Question

【題目】如圖所示，空間中有一水平面，其右側(cè)為一垂直于水平面的墻面．現(xiàn)使空間內(nèi)具有一勻強磁場，大小為，方向如圖所示，已知一質(zhì)量為，帶電量為的小球，在距墻左處的水平面上以速度開始向右水平運動，設(shè)球與水平面動摩擦因數(shù)為，且與墻的碰撞為彈性的．試問：

（1）要使小球曾經(jīng)運動到平面以上，且最后以垂直于墻面的速度與墻相碰，以上數(shù)據(jù)應(yīng)滿足的條件．

（2）設(shè)小球可以運動到平面以上，并且為（1）中所滿足條件的次小值，而且由小球運動到靜止用時為．小球最終停在何處？

（3）若小球始終緊貼水平面運動，且最終靜止于原出發(fā)點，則從出發(fā)到靜止耗時為多少？

Answer 1

【答案】(1)見解析 (2) (3)

【解析】

（1）若要小球可以運動到平面以上，則首先有，接下來，我們將分解成和，其中，則．于是小球的運動分解成水平向右的速度為的直線運動及速率為的逆時針方向的勻速圓周運動的合成，且易知此圓周運動中，有

，．

當(dāng)小球速度垂直于墻時，此時，現(xiàn)討論如下：

①，即，則此種情況下，小球運動的軌跡下方拐點處速度向右，上方拐點處速度向左，當(dāng)小球垂直撞墻時，必有，則

②，即，則此種情況下，小球運動的軌跡上、下方拐點處的速度都向右，則時，小球均可垂直撞墻，故有

另外，當(dāng)時，我們注意到小球軌跡為如圖所示，要使小球在處于時碰撞，則拐點面必須在面左方，即是說，對于任一，要求有

其中，為圓周運動半徑，，對于上式右邊求最值，易知，即合速度豎直向上時，右邊最大，從而應(yīng)滿足

化簡得

綜上所述．?dāng)?shù)據(jù)應(yīng)滿足條件為（1*）或（2*）如下

1* ．

2* ．

（2）當(dāng)滿足（1）中條件1*時，我們知，，

故由題意，碰后返回所用時間為．

而這段時間內(nèi)，有支持力，且滿足．

從而，直到小球停止時，總沖量

．

其中即小球碰后所有距離，由動量定理，則．

故而得：．

同理，當(dāng)滿足（1）中條件2*時，得．

（3）由題意，此時，對于碰墻前時刻，有．

故而，．

與（2）同理可知，碰墻速度滿足．

而對于碰撞后到靜止，同理有，故而．

所以總時間．