Question

如圖所示，t=0時刻，質(zhì)量M=4kg上表面水平的小車靜止在光滑水平面上，小車兩端點A、B之間的中點C處靜止著質(zhì)量m=1kg、電荷量q=5×10^-4C、可視為質(zhì)點的帶正電物體．現(xiàn)在0～2.5s末這段時間內(nèi)，在小車所在空間施加一個方向水平向右、電場強度E₁=2×10³N/C的勻強電場；接著在2.5s末改變電場的大小和方向，使2.5s～3.5s末這段時間內(nèi)，小車所在空間的勻強電場方向水平向左、電場強度E₂=5×10³N/C；然后在t=3.5s末，撤去電場．若小車表面絕緣，小車與物體之間的動摩擦因數(shù)μ=0.1，小車與物體之間最大靜摩擦力的大小等于滑動摩擦力的大小，重力加速度g取10m/s²．求：
（1）2.5s末小車和物體的速度；
（2）要讓物體不從小車上滑落，小車的最小長度為多少？

Answer 1

分析：（1）0～2.5s末這段時間內(nèi)，在小車所在空間施加一個水平向右的勻強電場，物體受到向右的電場力，小車與物體之間最大靜摩擦力：f_max=μmg=1N，假設兩者相對靜止，根據(jù)牛頓第二定律運用整體法和隔離法，求出物體與小車間的靜摩擦力，判斷物體與小車是否相對靜止，若相對靜止，再求整體的加速度，由速度公式v=at求出速度．
（2）再用同樣的方法判斷在2.5 s～3.5 s末（t′=1s）這段時間內(nèi)，物體與小車是否相對靜止．若物體將相對小車向左運動，對物體和小車分別運用動量定理，列式，可求出3.5 s末物體、小車的速度，由運動學公式和幾何關系求出這一過程中物體相對小車向左的位移．撤去電場后，物體和小車構(gòu)成的系統(tǒng)動量守恒，由動量守恒和能量守恒列式，求出這一過程中物體相對小車向左的位移，從而求出小車的最小長度．

解答：解：（1）小車與物體之間最大靜摩擦力：f_max=μmg=1N
在0～2.5s末（t=2.5s）這段時間內(nèi)，假設物體與小車相對靜止，則由牛頓第二定律可知它們的加速度為：a=

qE1

m+M

=0.2m/s2
若以小車為研究對象，小車受到的摩擦力為：f_M=Ma=0.8N
因為f_M＜f_max，故假設成立．即物體與小車相對靜止．                
所以，在2.5s末小車和物體的共同速度為：v=at=0.5m/s，方向水平向右．    
（2）在2.5 s～3.5 s末（t′=1s）這段時間內(nèi)，仍假設物體與小車相對靜止，則由牛頓第二定律可知它們的加速度為：a′=

qE2

m+M

=0.5m/s2
若以小車為研究對象，小車受到的摩擦力為：f′_M=Ma′=2N
因為f′_M＞f_max，故假設不成立．即物體將相對小車向左運動．          
以水平向右的方向為正方向，設3.5 s末物體、小車的速度分別為v₁、v₂，根據(jù)動量定理，對物體有：（-qE₂+μmg）t′=mv₁-mv
對小車有：-μmgt′=Mv₂-Mv
解得：v₁=-1m/s（方向向左），v₂=0.25m/s（方向向右）          
這一過程中物體相對小車向左的位移是：△s1=|

1

2

(v+v1)t′|+

1

2

(v+v2)t′=0.625m
撤去電場后，物體和小車構(gòu)成的系統(tǒng)動量守恒，設它們相對靜止時的速度為v?，由動量守恒定律有：Mv₂+mv₁=（M+m）v′
解得：v′=0
設這一過程中物體相對小車向左的位移為△s₂，由能量守恒定律有：μmg△s2=

1

2

m

v

2 1

+

1

2

M

v

2 2

解得：△s₂=0.625m
所以，小車的最小長度為：L=2（△s₁+△s₂）=2.5m
答：
（1）2.5s末小車和物體的速度是0.5m/s．
（2）要讓物體不從小車上滑落，小車的最小長度為2.5m．

點評：本題是電場中力學問題，基本方法與力學一樣，關鍵分析物塊與小車的受力情況和運動情況．要注意摩擦發(fā)熱與物體間相對位移成正比．