Question

【題目】如圖所示，水平軌道MN與半徑為R的豎直光滑圓弧軌道相切于N點(diǎn)．質(zhì)量為m的小滑塊A靜止于P點(diǎn)．質(zhì)量為M=2m的小滑塊B以速度v0向右運(yùn)動(dòng)，A、B碰后粘連在一起，已知A、B與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，MP和PN距離均為R，求：

（1）AB碰撞過程中損失的機(jī)械能？
（2）當(dāng)v0的大小在什么范圍時(shí)，兩小球在圓弧軌道內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)不會(huì)脫離圓弧軌道？已知重力加速度為g．

Answer 1

【答案】
（1）解：小滑塊B運(yùn)動(dòng)到P時(shí)的速度設(shè)為v1，對(duì)B應(yīng)用動(dòng)能定理有：

﹣μMgR= Mv12﹣ Mv02，

當(dāng)ab粘在一起過程中，設(shè)ab粘在一起時(shí)的速度為v1，對(duì)ab應(yīng)用瞬間動(dòng)量守恒，選取向右為正方向，有：

Mv1=（M+m）v2，

應(yīng)用功能關(guān)系可知ab碰撞過程中損失的機(jī)械能△E= Mv12﹣ （M+m）v22，

解得△E= ；

答：AB碰撞過程中損失的機(jī)械能為 ；

（2）A、B碰撞后的速度為v1，欲使A、B運(yùn)動(dòng)時(shí)不脫離圓弧軌道，有兩種可能：

①當(dāng)v0較小時(shí)A、B在圓弧上擺動(dòng)，若A、B最高點(diǎn)恰好能到與圓心等高的位置，對(duì)A、B，從碰后到與圓心等高的地方，由動(dòng)能定理有：

﹣μ（M+m）gR﹣（M+m）gR=0﹣ （M+m）v22，

聯(lián)立得v0= ；

②當(dāng)v0較大時(shí)，A、B能夠做完整的圓周運(yùn)動(dòng)．若A、B恰好做完整圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的情形，對(duì)A、B，從碰后運(yùn)動(dòng)到圓周最高點(diǎn)（設(shè)此時(shí)速度為v3）的過程中，由動(dòng)能定理有：

﹣μ（M+m）gR﹣（M+m）g（2R）= （M+m）v32﹣ （M+m）v22，

在最高點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律得（M+m）g= ，

聯(lián)立得v0= ，綜上所述，當(dāng)v0≤ 或v0≥ 時(shí)，兩小球在圓弧軌道內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)不會(huì)脫離圓弧軌道

答：當(dāng)v0≤ 或v0≥ 時(shí)，兩小球在圓弧軌道內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)不會(huì)脫離圓弧軌道．

【解析】（1）碰撞后兩個(gè)物塊粘到一起，屬于完全非彈性碰撞能量損失最大。先根據(jù)動(dòng)能定理求出B物塊運(yùn)動(dòng)到P時(shí)的速度，然后根據(jù)動(dòng)量守恒，求出兩物塊粘在一起共同速度，用碰撞前的總動(dòng)能減去碰撞后的總動(dòng)能，就是碰撞過程中損失的機(jī)械能。
（2）首先分析兩物塊而不脫離軌道的可能，一種情況是A、B最高點(diǎn)恰好能到與圓心等高的位置，還有一種情況A、B恰好做完整圓周運(yùn)動(dòng)，對(duì)兩種情況分別應(yīng)用動(dòng)能定理求出初速度的范圍值。
【考點(diǎn)精析】掌握向心力和功能關(guān)系是解答本題的根本，需要知道向心力總是指向圓心，產(chǎn)生向心加速度，向心力只改變線速度的方向，不改變速度的大��；向心力是根據(jù)力的效果命名的.在分析做圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)受力情況時(shí)，千萬不可在物體受力之外再添加一個(gè)向心力；當(dāng)只有重力（或彈簧彈力）做功時(shí)，物體的機(jī)械能守恒；重力對(duì)物體做的功等于物體重力勢(shì)能的減少:W G =E p1 -E p2；合外力對(duì)物體所做的功等于物體動(dòng)能的變化:W 合 =E k2 -E k1 （動(dòng)能定理）；除了重力（或彈簧彈力）之外的力對(duì)物體所做的功等于物體機(jī)械能的變化:W F =E 2 -E 1．