Question

2．已知函數(shù)f（x）=cosx（sinx-$\sqrt{3}$cosx）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=f（x+a）為偶函數(shù)，求|a|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由二倍角公式推導(dǎo)出f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$），由此能求出f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間．
（Ⅱ）g（x）=f（x+a）=sin（2x+2a-$\frac{π}{3}$），由函數(shù)g（x）為偶函數(shù)，求出a=$\frac{kπ}{2}+\frac{5π}{12}$，k∈Z，由此能求出|a|的最小值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=cosx（sinx-$\sqrt{3}$cosx）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
=sinxcosx-$\sqrt{3}co{s}^{2}x$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{1}{2}sin2x-\frac{\sqrt{3}}{2}cos2x$
=sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
由2k$π-\frac{π}{2}$$≤2x-\frac{π}{3}≤$$2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z，
得$kπ-\frac{π}{12}≤x≤kπ+\frac{5π}{12}$，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為[k$π-\frac{π}{12}$，k$π+\frac{5π}{12}$]，k∈Z．
（Ⅱ）由題意得g（x）=f（x+a）=sin（2x+2a-$\frac{π}{3}$），
∵函數(shù)g（x）為偶函數(shù)，
∴2a-$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，解得a=$\frac{kπ}{2}+\frac{5π}{12}$，k∈Z，
當(dāng)k=-1時，|a|的最小值為$\frac{π}{12}$．

點評 本題考查三角函數(shù)的最小正周期、單調(diào)增區(qū)間的求法，考查實數(shù)值的絕對值的最小值求法，考查二倍角公式、三角形圖象及性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．