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【題目】已知四面體有五條棱長(zhǎng)為3,且外接球半徑為2.動(dòng)點(diǎn)P在四面體的內(nèi)部或表面,P到四個(gè)面的距離之和記為s.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在,兩處時(shí),s分別取得最小值和最大值,則線段長(zhǎng)度的最小值為______.
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【題目】高爾頓板是英國(guó)生物統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾頓設(shè)計(jì)用來研究隨機(jī)現(xiàn)象的模型,在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯(cuò)開的圓柱形小木塊,小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ溃懊鎿跤幸粔K玻璃,讓一個(gè)小球從高爾頓板上方的通道口落下,小球在下落的過程中與層層小木塊碰撞,且等可能向左或向右滾下,最后掉入高爾頓板下方的某一球槽內(nèi).如圖所示的小木塊中,上面7層為高爾頓板,最下面一層為改造的高爾頓板,小球從通道口落下,第一次與第2層中間的小木塊碰撞,以的概率向左或向右滾下,依次經(jīng)過6次與小木塊碰撞,最后掉入編號(hào)為1,2…,7的球槽內(nèi).例如小球要掉入3號(hào)球槽,則在前5次碰撞中有2次向右3次向左滾到第6層的第3個(gè)空隙處,再以的概率向左滾下,或在前5次碰撞中有1次向右4次向左滾到第6層的第2個(gè)空隙處,再以的概率向右滾下.
(1)若進(jìn)行一次高爾頓板試驗(yàn),求小球落入第7層第6個(gè)空隙處的概率;
(2)小明同學(xué)在研究了高爾頓板后,利用該圖中的高爾頓板來到社團(tuán)文化節(jié)上進(jìn)行盈利性“抽獎(jiǎng)”活動(dòng),8元可以玩一次高爾頓板游戲,小球掉入X號(hào)球槽得到的獎(jiǎng)金為元,其中.
(i)求X的分布列:
(ii)高爾頓板游戲火爆進(jìn)行,很多同學(xué)參加了游戲,你覺得小明同學(xué)能盈利嗎?
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【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)且時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時(shí),若函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為、,證明.
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【題目】我國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖暅提出原理:“冪勢(shì)既同,則積不容異”.其中“冪”是截面積,“勢(shì)”是幾何體的高.原理的意思是:夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體,被任一平行于這兩個(gè)平行平面的平面所截,若所截的兩個(gè)截面的面積恒相等,則這兩個(gè)幾何體的體積相等.如圖(1),函數(shù)的圖象與x軸圍成一個(gè)封閉區(qū)域A(陰影部分),將區(qū)域A(陰影部分)沿z軸的正方向上移6個(gè)單位,得到一幾何體.現(xiàn)有一個(gè)與之等高的底面為橢圓的柱體如圖(2)所示,其底面積與區(qū)域A(陰影部分)的面積相等,則此柱體的體積為______.
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【題目】如圖所示,將方格紙中每個(gè)小方格染三種顏色之一,使得每種顏色的小方格的個(gè)數(shù)相等.若相鄰兩個(gè)小方格的顏色不同,稱他們的公共邊為“分割邊”,則分割邊條數(shù)的最小值為( )
A.33B.56C.64D.78
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【題目】分形幾何是美籍法國(guó)數(shù)學(xué)家芒德勃羅在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門數(shù)學(xué)新分支,其中的“謝爾賓斯基”圖形的作法是:先作一個(gè)正三角形,挖去一個(gè)“中心三角形”(即以原三角形各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形),然后在剩下的每個(gè)小正三角形中又挖去一個(gè)“中心三角形”.按上述方法無限連續(xù)地作下去直到無窮,最終所得的極限圖形稱為“謝爾賓斯基”圖形(如圖所示),按上述操作7次后,“謝爾賓斯基”圖形中的小正三角形的個(gè)數(shù)為( )
A.B.C.D.
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【題目】高爾頓板是英國(guó)生物統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾頓設(shè)計(jì)用來研究隨機(jī)現(xiàn)象的模型,在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯(cuò)開的圓柱形小木塊,小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ,前面擋有一塊玻璃,讓一個(gè)小球從高爾頓板上方的通道口落下,小球在下落的過程中與層層小木塊碰撞,且等可能向左或向右滾下,最后掉入高爾頓板下方的某一球槽內(nèi).如圖所示的小木塊中,上面7層為高爾頓板,最下面一層為改造的高爾頓板,小球從通道口落下,第一次與第2層中間的小木塊碰撞,以的概率向左或向右滾下,依次經(jīng)過6次與小木塊碰撞,最后掉入編號(hào)為1,2…,7的球槽內(nèi).例如小球要掉入3號(hào)球槽,則在前5次碰撞中有2次向右3次向左滾到第6層的第3個(gè)空隙處,再以的概率向左滾下,或在前5次碰撞中有1次向右4次向左滾到第6層的第2個(gè)空隙處,再以的概率向右滾下.
(1)若進(jìn)行一次高爾頓板試驗(yàn),求小球落入第7層第6個(gè)空隙處的概率;
(2)小明同學(xué)在研究了高爾頓板后,利用該圖中的高爾頓板來到社團(tuán)文化節(jié)上進(jìn)行盈利性“抽獎(jiǎng)”活動(dòng),8元可以玩一次高爾頓板游戲,小球掉入X號(hào)球槽得到的獎(jiǎng)金為元,其中.
(i)求X的分布列:
(ii)高爾頓板游戲火爆進(jìn)行,很多同學(xué)參加了游戲,你覺得小明同學(xué)能盈利嗎?
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【題目】已知首項(xiàng)為的數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù),且,.
(1)若數(shù)列的通項(xiàng)滿足,且,求數(shù)列的前n項(xiàng)和為;
(2)若數(shù)列的通項(xiàng)滿足,前n項(xiàng)和為,當(dāng)數(shù)列是等差數(shù)列時(shí),對(duì)任意的,均存在,使得成立,求滿足條件的所有整數(shù)構(gòu)成的集合.
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【題目】如圖,多面體是正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)沿平面切除一部分所得,其中平面為原正三棱柱的底面,,點(diǎn)D為的中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)求二面角的平面角的余弦值.
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【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)且時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時(shí),若函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為、,證明.
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