已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為e＝，以原點(diǎn)為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓與直線x－y＋2＝0相切，A，B分別是橢圓的左右兩個(gè)頂點(diǎn)，P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)．

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(Ⅱ)若P與A，B均不重合，設(shè)直線PA與PB的斜率分別為k₁，k₂，證明：k₁·k₂為定值；

(Ⅲ)M為過P且垂直于x軸的直線上的點(diǎn)，若，求點(diǎn)M的軌跡方程．

已知函數(shù)f(x)＝ax²－(2a＋1)x＋2lnx(a∈R)．

(Ⅰ)若曲線y＝f(x)在x＝1和x＝3處的切線互相平行，求a的值；

(Ⅱ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

某班同學(xué)利用寒假進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，對(duì)[25，55]歲的人群隨機(jī)抽取n人進(jìn)行了一次生活習(xí)慣是否符合低碳觀念的調(diào)查，若生活習(xí)慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”，得到如下統(tǒng)計(jì)表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖：

(Ⅰ)補(bǔ)全頻率分布直方圖并求n、a、p的值；

(Ⅱ)從年齡段在[40，50)的“低碳族”中采用分層抽樣法抽取6人參加戶外低碳體驗(yàn)活動(dòng)，其中選取2人作為領(lǐng)隊(duì)，求選取的2名領(lǐng)隊(duì)中恰有1人年齡在[40，45)歲的概率．

在三棱錐P－ABC中，ΔPAC和ΔPBC是邊長為的等邊三角形，AB＝2，O是AB中點(diǎn)．

(Ⅰ)在棱PA上求一點(diǎn)M，使得OM∥平面PBC；

(Ⅱ)求證：平面PAB⊥平面ABC．

已知函數(shù)f(x)＝x²－2(n＋1)x＋n²＋5n－7．

(Ⅰ)設(shè)函數(shù)y＝f(x)的圖像的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{a_n}，求證：{a_n}為等差數(shù)列；

(Ⅱ)設(shè)函數(shù)y＝f(x)的圖像的頂點(diǎn)到x軸的距離構(gòu)成數(shù)列{b_n}，求{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的圖象的一部分如下圖所示．

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式；

(Ⅱ)當(dāng)x∈[－6，－]時(shí)，求函數(shù)y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值與最小值及相應(yīng)的x的值．

已知函數(shù)f(x)＝x＋ln(1－x)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

(1)若x＜1時(shí)，恒有f(x)＋m≤0成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(2)若x≥2，n∈N^*，證明

已知點(diǎn)M是直線上的動(dòng)點(diǎn)，為定點(diǎn)，過點(diǎn)M且垂直于直線的直線和線段MF的垂直平分線相交于點(diǎn)P．

(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；

(2)經(jīng)過點(diǎn)Q(a，0)(a＞0)且與x軸不垂直的直線l與點(diǎn)P的軌跡有兩個(gè)不同交點(diǎn)A、B，若在x軸上存在點(diǎn)C，使得△ABC為正三角形，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

已知數(shù)列{a_n}中

(1)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

(2)已知{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且對(duì)任意正整數(shù)N，都有成立．求證：

如圖，三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，底面ABC為正三角形，側(cè)面ACC₁A₁是的菱形，且側(cè)面ACC₁A₁⊥底面ABC，D為AC的中點(diǎn)．

(1)求證：平面A₁BD⊥平面ACC₁A₁；

(2)若點(diǎn)E為AA₁上的一點(diǎn)，當(dāng)CE⊥BB₁時(shí)，求二面角A－EC－B的正切值．