已知四邊形ABCD為菱形，設(shè)
AB
=
a
，
AD
=
b
，
（1）試用
a
、
b
表示
AC
、
BD
；
（2）求證：
AC
⊥
BD
．
分析：（1）根據(jù)四邊形ABCD為菱形，以及向量加法的平行四邊形法則和三角形法則可求出向量
AC
與
BD
；
（2）根據(jù)四邊形ABCD為菱形可得AB=AD，則|
AB
|=|
AD
|，即|
a
|=|
b
|，然后通過計(jì)算數(shù)量積
AC
•
BD
=0即可證得結(jié)論．
解答：（1）解：∵ABCD為菱形，∴
AC
=
AB
+
AD
=
a
+
b
，
BD
=
AD
-
AB
=
b
-
a
．
（2）證明：∵ABCD為菱形，
∴AB=AD，
即|
AB
|=|
AD
|，即|
a
|=|
b
|
∴
AC
•
BD
=（
a
+
b
）•（
b
-
a
）=
b
2-
a
2=0，
∴
AC
⊥
BD
．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了向量在幾何中的應(yīng)用，以及平面向量基本定理和向量的數(shù)量積等有關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知四邊形ABCD為矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF⊥平面ACE．
（1）求證：AE∥平面BDF；
（2）求三棱錐D-ACE的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知四邊形ABCD為菱形，AB=6，∠BAD=60°，兩個(gè)正三棱錐P-ABD、S-BCD（底面是正三角形且頂點(diǎn)在底面上的射影是底面正三角形的中心）的側(cè)棱長(zhǎng)都相等，如圖，E、M、N分別在AD、
AB、AP上，且AM=AE=2，AN=
13
AP，MN⊥PE．
（Ⅰ）求證：PB⊥平面PAD；
（Ⅱ）求平面BPS與底面ABCD所成銳二面角的平面角的正切
值；
（Ⅲ）求多面體SPABC的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•鹽城一模）已知四邊形ABCD為梯形，AB∥CD，l為空間一直線，則“l(fā)垂直于兩腰AD，BC”是“l(fā)垂直于兩底AB，DC”的
充分不必要
充分不必要
條件（填寫“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中的一個(gè)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知四邊形ABCD為直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=2，AB=BC=1，沿AC將△ABC折起，使點(diǎn)B到點(diǎn)P的位置，且平面PAC⊥平面ACD．
（I）證明：DC⊥平面APC；
（II）求二面角B-AP-D的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知四邊形ABCD為直角梯形，∠ADC=90°，AD∥BC，△ABD為等腰直角三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E為PA的中點(diǎn)，AD=2BC=2
2
，PA=3PD=3．
（1）求證：BE∥平面PDC；
（2）求證：AB⊥平面PBD．

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