Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1= ，an= （n≥2，n∈N）．
（1）試判斷數(shù)列 是否為等比數(shù)列，并說(shuō)明理由；
（2）設(shè)bn= ，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn；
（3）設(shè)cn=ansin ，數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n ． 求證：對(duì)任意的n∈N* ， Tn＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，

∴ ，

又∵ ，

∴數(shù)列 是首項(xiàng)為3，公比為﹣2的等比數(shù)列．

（2）解：依（1）的結(jié)論有 ，

即 ．

bn=（32n﹣1+1）2=94n﹣1+62n﹣1+1．

．

（3）解：∵ ，

∴ ．

當(dāng)n≥3時(shí)，

則 ＜

= ．

∵T1＜T2＜T3，

∴對(duì)任意的n∈N*， ．

【解析】（1）根據(jù)題意，對(duì) 進(jìn)行變形可得 ，從而證得結(jié)論；（2）根據(jù)（1）求出數(shù)列an ， 從而求得bn ， 利用分組求和法即可求得結(jié)果；（3）首先確定出數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式，利用放縮的思想將數(shù)列的每一項(xiàng)進(jìn)行放縮，轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列的求和問(wèn)題達(dá)到證明不等式的目的．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的等比關(guān)系的確定和數(shù)列的前n項(xiàng)和，需要了解等比數(shù)列可以通過(guò)定義法、中項(xiàng)法、通項(xiàng)公式法、前n項(xiàng)和法進(jìn)行判斷；數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系才能得出正確答案．