（2012•淄博一模）在平面直角坐標系內(nèi)已知兩點A（-1，0）、B（1，0），若將動點P（x，y）的橫坐標保持不變，縱坐標擴大到原來的
2
倍后得到點Q（x，
2
y），且滿足
AQ
•
BQ
=1．
（Ⅰ）求動點P所在曲線C的方程；
（Ⅱ）過點B作斜率為-
2
2
的直線l交曲線C于M、N兩點，且
OM
+
ON
+
OH
=
0
，試求△MNH的面積．
分析：（Ⅰ）設點P的坐標為（x，y），則點Q的坐標為（x，
2
y），表示出
AQ
=（x+1，
2
y），
BQ
=（x-1，
2
y），利用
AQ
•
BQ
=1，即可求得動點P所在曲線C的方程；
（Ⅱ）設出l：y=-
2
2
（x-1），與橢圓聯(lián)立方程組
x2
2
+y2=1
y=-
2
2
(x-1)
，消去y，得2x2-2x-1=0，利用
OM
+
ON
+
OH
=
0
，確定H的坐標，計算|MN|，及H到直線l的距離即可求出△MNH的面積．
解答：解：（Ⅰ）設點P的坐標為（x，y），則點Q的坐標為（x，
2
y）．
依據(jù)題意，有
AQ
=（x+1，
2
y），
BQ
=（x-1，
2
y）．…（2分）
∵
AQ
•
BQ
=1，
∴x2-1+2y2=1．
∴動點P所在曲線C的方程是
x2
2
+y2=1 …（4分）
（Ⅱ）因直線l過點B，且斜率為k=-
2
2
，故有l(wèi)：y=-
2
2
（x-1）…（5分）
聯(lián)立方程組
x2
2
+y2=1
y=-
2
2
(x-1)
，消去y，得2x2-2x-1=0．…（7分）
設M（x1，y1）、N（x2，y2），可得
x1+x2=1
x1x2=-
1
2
，于是
x1+x2=1
y1+y2=
2
2
．…（8分）
又
OM
+
ON
+
OH
=
0
，得
OH
=（-x1-x2，-y1-y2），即H（-1，-
2
2
）…（10分）
∴|MN|=
1+k2
[(x1+x2)2-4x1x2]
=
3
2
2
，…（12分）
又l：
2
x+2y-
2
=0，則H到直線l的距離為d=
|-
2
+2×(-
2
2
)-
2
|
6
=
3

故所求△MNH的面積為S=
1
2
×
3
2
2
×
3
=
3
6
4
．…（14分）
點評：本題考查軌跡方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，計算弦長及點到直線的距離是關(guān)鍵．
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x
2
-
3
sinx．
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π
3
)=
1
3
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cos2a
1+cos2a-sin2a
的值．

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1
4
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1
4
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1
4
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