Question

若直線過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，且與雙曲線的一條漸近線平行.

（Ⅰ）求雙曲線的方程；

（Ⅱ）若過點(diǎn)與軸不平行的直線與雙曲線相交于不同的兩點(diǎn)的垂直平分線為，求直線在軸上截距的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）.（Ⅱ）直線在軸上的截距的取值范圍為

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由得，，且，解得故雙曲線的方程為.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，依題意可設(shè)過點(diǎn)的直線為由得，，，且設(shè)的中點(diǎn)，則，故直線的方程為，即所以直線在軸上的截距，由，且得，所以.即直線在軸上的截距的取值范圍為

考點(diǎn)：本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關(guān)系。

點(diǎn)評(píng)：中檔題，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，應(yīng)用“待定系數(shù)法”求得了雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程。研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，往往應(yīng)用韋達(dá)定理，通過“整體代換”，簡化解題過程，實(shí)現(xiàn)解題目的。（II）中根據(jù)方程組有解，確定得到直線斜率范圍，易于忽視。