Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x+ 的圖象過點(diǎn)P（1，5）． （Ⅰ）求實(shí)數(shù)m的值，并證明函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（Ⅱ）利用單調(diào)性定義證明f（x）在區(qū)間[2，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） 的圖象過點(diǎn)P（1，5）， ∴5=1+m，
∴m=4
∴ ，f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠0}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴f（x）=﹣f（x），
f（x）是奇函數(shù)．
（Ⅱ）證明：設(shè)x2＞x1≥2，
則
又x2﹣x1＞0，x1≥2，x2＞2，∴x1x2＞4
∴f（x2）﹣f（x1）＞0，
∴f（x2）＞f（x1），
即f（x）在區(qū)間[2，+∞）上是增函數(shù)
【解析】（Ⅰ）代入點(diǎn)P，求得m，再由奇函數(shù)的定義，即可得證；（Ⅱ）根據(jù)單調(diào)性的定義，設(shè)值、作差、變形、定符號(hào)和下結(jié)論即可得證．
【考點(diǎn)精析】利用函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)的奇偶性對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．