Question

已知橢圓E：的離心率為，它的上頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，直線AF₁，AF₂分別交橢圓于點(diǎn)B，C．
（1）求證直線BO平分線段AC；
（2）設(shè)點(diǎn)P（m，n）（m，n為常數(shù)）在直線BO上且在橢圓外，過P的動(dòng)直線l與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)M，N，在線段MN上取點(diǎn)Q，滿足，試證明點(diǎn)Q恒在一定直線上．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用離心率計(jì)算公式，及b²=a²-c²=2c²，可以用c表示a，b，即可表示橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而得到點(diǎn)A，F(xiàn)₁的坐標(biāo)；與橢圓的方程聯(lián)立即可解得點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用對(duì)稱性即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得到相等AC的中點(diǎn)坐標(biāo)，滿足直線BO的方程即可；
（2）設(shè)過P的直線l與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)的坐標(biāo)為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），點(diǎn)Q（x，y），可得，．設(shè)=λ，則，，利用向量相等即可得到m，n，x，y用x₁，y₁，x₂，y₂，λ表示，進(jìn)而得到2mx+3ny為常數(shù)即可．
解答：證明：（1）由題意，，則，b²=a²-c²=2c²，
故橢圓方程為，
即2x²+3y²-6c²=0，其中，F(xiàn)₁（-c，0），
∴直線AF₁的斜率為，此時(shí)直線AF₁的方程為，
聯(lián)立得2x²+3cx=0，解得x₁=0（舍）和，即B，
由對(duì)稱性知．
直線BO的方程為，
線段AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
AC的中點(diǎn)坐標(biāo)滿足直線BO的方程，即直線BO平分線段AC．
（2）設(shè)過P的直線l與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)的坐標(biāo)為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），點(diǎn)Q（x，y），
則，．
設(shè)=λ，則，，
求得，，，，
∴，，
∴2mx+3ny====6c²，
由于m，n，C為常數(shù)，所以點(diǎn)Q恒在直線2mx+3ny-6c²=0上．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、向量共線等基礎(chǔ)知識(shí)與方法，需要較強(qiáng)的推理能力與計(jì)算能力．