Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax2﹣2bx+a（a，b∈R）
（1）若a從集合{0，1，2，3}中任取一個元素，b從集合{0，1，2，3}中任取一個元素，求方程f（x）=0恰有兩個不相等實(shí)根的概率；
（2）若b從區(qū)間[0，2]中任取一個數(shù)，a從區(qū)間[0，3]中任取一個數(shù)，求方程f（x）=0沒有實(shí)根的概率．

Answer 1

【答案】
（1）解：a取集合{0，1，2，3}中任一元素，

b取集合{0，1，2，3}中任一元素

∴a、b的取值情況的基本事件總數(shù)為16．

設(shè)“方程f（x）=0有兩個不相等的實(shí)根”為事件A，

當(dāng)a≥0，b≥0時方程f（x）=0有兩個不相等實(shí)根的充要條件為b＞a，且a≠0．

當(dāng)b＞a時，a的取值有（1，2）（1，3）（2，3）

即A包含的基本事件數(shù)為3．

∴方程f（x）=0有兩個不相等的實(shí)根的概率P（A）=

（2）解：∵b從區(qū)間[0，2]中任取一個數(shù)，a從區(qū)間[0，3]中任取一個數(shù)

則試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域Ω={（a，b）|0≤b≤2，0≤a≤3}這是一個矩形區(qū)域，其面積SΩ=2×3=6

設(shè)“方程f（x）=0沒有實(shí)根”為事件B，

則事件B構(gòu)成的區(qū)域?yàn)镸={（a，b）|0≤b≤2，0≤a≤3，a＞b}，

其面積SM=6﹣ ×2×2=4，

由幾何概型的概率計算公式可得方程f（x）=0沒有實(shí)根的概率P（B）= = = ．

【解析】（1）先確定a、b取值的所有情況得到共有16種情況，又因?yàn)榉匠逃袃蓚�不相等的根，所以根的判別式大于零得到a＞b，而a＞b占6種情況，所以方程f（x）=0有兩個不相等實(shí)根的概率P=0.5；（2）由a從區(qū)間[0，2]中任取一個數(shù)，b從區(qū)間[0，3]中任取一個數(shù)得試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域Ω={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3}，而方程f（x）=0沒有實(shí)根構(gòu)成的區(qū)域?yàn)镸={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3，a≤b}，分別求出兩個區(qū)域面積即可得到概率．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用幾何概型，掌握幾何概型的特點(diǎn)：1）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件）有無限多個；2）每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等即可以解答此題．