【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=lnx﹣ax,g(x)=ex﹣ax,其中a為實數(shù).
(1)若f(x)在(1,+∞)上是單調(diào)減函數(shù),且g(x)在(1,+∞)上有最小值,求a的取值范圍;
(2)若g(x)在(﹣1,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),試求f(x)的零點個數(shù),并證明你的結(jié)論.
【答案】
(1)解:求導(dǎo)數(shù)可得f′(x)= ﹣a
∵f(x)在(1,+∞)上是單調(diào)減函數(shù),∴ ﹣a≤0在(1,+∞)上恒成立,
∴a≥ ,x∈(1,+∞).
∴a≥1.
令g′(x)=ex﹣a=0,得x=lna.當(dāng)x<lna時,g′(x)<0;當(dāng)x>lna時,g′(x)>0.
又g(x)在(1,+∞)上有最小值,所以lna>1,即a>e.
故a的取值范圍為:a>e.
(2)解:當(dāng)a≤0時,g(x)必為單調(diào)函數(shù);當(dāng)a>0時,令g′(x)=ex﹣a>0,解得a<ex,即x>lna,
因為g(x)在(﹣1,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),類似(1)有l(wèi)na≤﹣1,即0< .結(jié)合上述兩種情況,有 .
①當(dāng)a=0時,由f(1)=0以及f′(x)= >0,得f(x)存在唯一的零點;
②當(dāng)a<0時,由于f(ea)=a﹣aea=a(1﹣ea)<0,f(1)=﹣a>0,且函數(shù)f(x)在[ea,1]上的圖象不間斷,所以f(x)在(ea,1)上存在零點.
另外,當(dāng)x>0時,f′(x)= ﹣a>0,故f(x)在(0,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),所以f(x)只有一個零點.
③當(dāng)0<a≤ 時,令f′(x)= ﹣a=0,解得x= .當(dāng)0<x< 時,f′(x)>0,當(dāng)x> 時,f′(x)<0,
所以,x= 是f(x)的最大值點,且最大值為f( )=﹣lna﹣1.
(i)當(dāng)﹣lna﹣1=0,即a= 時,f(x)有一個零點x=e;
(ii)當(dāng)﹣lna﹣1>0,即0<a< 時,f(x)有兩個零點;
實際上,對于0<a< ,由于f( )=﹣1﹣ <0,f( )>0,且函數(shù)f(x)在[ ]上的圖象不間斷,所以f(x)在( )上存在零點.
另外,當(dāng)0<x< 時,f′(x)= ﹣a>0,故f(x)在(0, )上時單調(diào)增函數(shù),所以f(x)在(0, )上只有一個零點.
下面考慮f(x)在( ,+∞)上的情況,先證明f( )=a( )<0.
為此,我們要證明:當(dāng)x>e時,ex>x2.設(shè)h(x)=ex﹣x2,則h′(x)=ex﹣2x,再設(shè)l(x)=h′(x)=ex﹣2x,則l′(x)=ex﹣2.
當(dāng)x>1時,l′(x)=ex﹣2>e﹣2>0,所以l(x)=h′(x)在(1,+∞)上時單調(diào)增函數(shù);
故當(dāng)x>2時,h′(x)=ex﹣2x>h′(2)=e2﹣4>0,從而h(x)在(2,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),進而當(dāng)x>e時,h(x)=ex﹣x2>h(e)=ee﹣e2>0,即當(dāng)x>e時,ex>x2
當(dāng)0<a< ,即 >e時,f( )= =a( )<0,又f( )>0,且函數(shù)f(x)在[ , ]上的圖象不間斷,所以f(x)在( , )上存在零點.
又當(dāng)x> 時,f′(x)= ﹣a<0,故f(x)在( ,+∞)上是單調(diào)減函數(shù),所以f(x)在( ,+∞)上只有一個零點.
綜合(i)(ii)(iii),當(dāng)a≤0或a= 時,f(x)的零點個數(shù)為1,當(dāng)0<a< 時,f(x)的零點個數(shù)為2.
【解析】(1)求導(dǎo)數(shù),利用f(x)在(1,+∞)上是單調(diào)減函數(shù),轉(zhuǎn)化為 ﹣a≤0在(1,+∞)上恒成立,利用g(x)在(1,+∞)上有最小值,結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識,即可求得結(jié)論;(2)先確定a的范圍,再分類討論,確定f(x)的單調(diào)性,從而可得f(x)的零點個數(shù).
【考點精析】認真審題,首先需要了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減).
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:的離心率,該橢圓中心到直線的距離為.
(1)求橢圓的方程;
(2)是否存在過點的直線,使直線與橢圓交于,兩點,且以為直徑的圓過定點?若存在,求出所有符合條件的直線方程;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校為了制定治理學(xué)校門口上學(xué)、放學(xué)期間家長接送孩子亂停車現(xiàn)象的措施,對全校學(xué)生家長進行了問卷調(diào)查.根據(jù)從中隨機抽取的50份調(diào)查問卷,得到了如下的列聯(lián)表:
同意限定區(qū)域停車 | 不同意限定區(qū)域停車 | 合計 | |
男 | 20 | 5 | 25 |
女 | 10 | 15 | 25 |
合計 | 30 | 20 | 50 |
則認為“是否同意限定區(qū)域停產(chǎn)與家長的性別有關(guān)”的把握約為__________.
附:,其中.
0.050 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)()在同一半周期內(nèi)的圖象過點, , ,其中為坐標原點, 為函數(shù)圖象的最高點, 為函數(shù)的圖象與軸的正半軸的交點, 為等腰直角三角形.
(1)求的值;
(2)將繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角,得到,若點恰好落在曲線()上(如圖所示),試判斷點是否也落在曲線()上,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一次購物抽獎活動中,假設(shè)某10張券中有一等獎券1張,可獲價值50元的獎品;有二等獎券3張,每張可獲價值10元的獎品;其余6張沒有獎,某顧客從此10張券中任抽2張,求:
(1)該顧客中獎的概率;
(2)該顧客獲得的獎品總價值X(元)的概率分布列和期望E(X).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(題文)已知函數(shù),其中為正實數(shù).
(1)若函數(shù)在處的切線斜率為2,求的值;
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若函數(shù)有兩個極值點,求證:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在多面體中,平面平面,四邊形為正方形,四邊形為梯形,且,,.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求證:平面;
(Ⅲ)在線段上是否存在點,使得平面?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于的不等式.
(1)當(dāng)時,解不等式;
(2)如果不等式的解集為空集,求實數(shù)的取值范圍.
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