【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,PA⊥底面ABCD,M是棱PD的中點(diǎn),且PA=AB=AC=2,BC=2

(1)求證:CD⊥平面PAC;
(2)如果如果N是棱AB上一點(diǎn),且直線(xiàn)CN與平面MAB所成角的正弦值為 ,求 的值.

【答案】
(1)證明:連結(jié)AC.因?yàn)樵凇鰽BC中,AB=AC=2,

所以AB2+AC2=BC2,所以AB⊥AC.

因?yàn)锳B∥CD,所以AC⊥CD.

又因?yàn)镻A⊥底面ABCD,所以PA⊥CD.

因?yàn)锳C∩PA=A,

所以CD⊥平面PAC.


(2)解:如圖,以A為原點(diǎn),AB,AC,AP所在直線(xiàn)分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.

則A(0,0,0),P(0,0,2),B(2,0,0),C(0,2,0),D(﹣2,2,0),因?yàn)镸是棱PD的中點(diǎn),所以M(﹣1,1,1).

所以

設(shè) =(x,y,z)為平面MAB的法向量,

令y=1,得平面MAB的法向量 =(0,1,﹣1),

因?yàn)镹是在棱AB上一點(diǎn),所以設(shè)N(x,0,0), =(﹣x,2,0).

因?yàn)橹本(xiàn)CN與平面MAB所成角的正弦值為

設(shè)直線(xiàn)CN與平面MAB所成角為α,

則sinα=|cos< >|= = = ,

解得x=1,即AN=1,NB=1,所以 =1.


【解析】(1)連結(jié)AC,由勾股定理得AB⊥AC,從而AC⊥CD,由線(xiàn)面垂直得PA⊥CD,由此能證明CD⊥平面PAC.(2)以A為原點(diǎn),AB,AC,AP所在直線(xiàn)分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,由直線(xiàn)CN與平面MAB所成角的正弦值為 ,利用向量法能求出 的值.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用直線(xiàn)與平面垂直的判定和空間角的異面直線(xiàn)所成的角的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案,需要掌握一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直,則該直線(xiàn)與此平面垂直;注意點(diǎn):a)定理中的“兩條相交直線(xiàn)”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線(xiàn)與平面垂直”與“直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想;已知為兩異面直線(xiàn),A,C與B,D分別是上的任意兩點(diǎn),所成的角為,則

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【題目】某市政府為了確定一個(gè)較為合理的居民用電標(biāo)準(zhǔn),必須先了解全市居民日常用電量的分布情況.現(xiàn)采用抽樣調(diào)查的方式,獲得了n位居民在2012年的月均用電量(單位:度)數(shù)據(jù),樣本統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下圖表:

頻 數(shù)

頻 率

[0,10)

0.05

[10,20)

0.10

[20,30)

30

[30,40)

0.25

[40,50)

0.15

[50,60]

15

計(jì)

n

1


(1)求月均用電量的中位數(shù)與平均數(shù)估計(jì)值;
(2)如果用分層抽樣的方法從這n位居民中抽取8位居民,再?gòu)倪@8位居民中選2位居民,那么至少有1位居民月均用電量在30至40度的概率是多少?
(3)用樣本估計(jì)總體,把頻率視為概率,從這個(gè)城市隨機(jī)抽取3位居民(看作有放回的抽樣),求月均用電量在30至40度的居民數(shù)X的分布列.

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X

0

1

P

9c2﹣c

3﹣8c


A.
B.
C.
D.1

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【題目】給n個(gè)自上而下相連的正方形著黑色或白色.當(dāng)n≤4時(shí),在所有不同的著色方案中,黑色正方形互不相鄰的著色方案如圖所示,由此推斷,當(dāng)n=6時(shí),至少有兩個(gè)黑色正方形相鄰的著色方案共有( )種.
A.21
B.32
C.43
D.54

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【題目】給出下列命題中

非零向量滿(mǎn)足,則的夾角為;

0的夾角為銳角的充要條件;

必定是直角三角形;

④△ABC的外接圓的圓心為O,半徑為1,若,,則向量在向量方向上的投影為.

以上命題正確的是 __________ (注:把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)都填上)

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