Question

（2006•奉賢區(qū)一模）已知x、y之間滿(mǎn)足

x2

4

+

y2

b2

=1(b＞0)
（1）方程

x2

4

+

y2

b2

=1(b＞0)表示的曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)一點(diǎn)(

3

，

1

2

)，求b的值
（2）動(dòng)點(diǎn)（x，y）在曲線(xiàn)

x2

4

+

y2

b2

=1（b＞0）上變化，求x²+2y的最大值；
（3）由

x2

4

+

y2

b2

=1(b＞0)能否確定一個(gè)函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f（x），如能，求解析式；如不能，再加什么條件就可使x、y之間建立函數(shù)關(guān)系，并求出解析式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意把點(diǎn)(

3

，

1

2

)代入曲線(xiàn)的方程

x2

4

+

y2

b2

=1(b＞0)可得答案．
（2）由題意可得：x2=4(1-

y2

b2

)，所以x2+2y=-

4

b2

(y-

b2

4

)2+

b2

4

+4(-b≤y≤b)，再利用二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)求出其最大值．
（3）根據(jù)函數(shù)的定義可得曲線(xiàn)的方程不能表示函數(shù)，并且結(jié)合函數(shù)的定義若x、y滿(mǎn)足xy＜0時(shí)，x、y之間能夠建立函數(shù)關(guān)系，并且根據(jù)方程也可以得到函數(shù)解析式．

解答：解：（1）由題意可得：曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)一點(diǎn)(

3

，

1

2

)，
所以

3 2

4

+

1

4b2

=1(b＞0)，
解得：b=1．（4分）
（2）根據(jù)

x2

4

+

y2

b2

=1(b＞0)得x2=4(1-

y2

b2

)（5分）
所以x2+2y=4(1-

y2

b2

)+2y=-

4

b2

(y-

b2

4

)2+

b2

4

+4(-b≤y≤b)（7分）
當(dāng)

b2

4

≥b時(shí)，即b≥4時(shí)(x2+2y)max=2b+4，
當(dāng)

b2

4

≤b時(shí)，即0≤b≤4時(shí)(x2+2y)max=

b2

4

+4
∴(x2+2y)max=

2b+4，(b≥4) b2 4 +4，(0≤b＜4)

（10分）
（2）不能；                                                 （11分）
如再加條件xy＜0就可使x、y之間建立函數(shù)關(guān)系，（12分）
并且解析式y=

- 1- x2 b2  (x＞0) 1- x2 b2 ，(x＜0)

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與二次函數(shù)的性質(zhì)，以及函數(shù)的有關(guān)定義，此題屬于中檔題．