Question

（1）求函數(shù)f（x）=4 ^x-3×2^x+1+3（0≤x≤4）的最大值與最小值；
（2）已知函數(shù)f（x）=a2x-x2+b（a，b是常數(shù)，且a＞1）在區(qū)間[0，2]上有最大值5，最小值2，求實數(shù)a，b的值．

Answer 1

分析：（1）由0≤x≤4，知1≤2^x≤16，故f（x）=4 ^x-3×2^x+1+3=（2^x-3）²-6，由此能求出f（x）=4 ^x-3×2^x+1+3（0≤x≤4）的最大值與最小值．
（2）由a，b是常數(shù)，且a＞1，知f（x）=a2x-x2+b=a1-(x-1)2+b在區(qū)間[0，2]上的最大值是f（1）=a+b，最小值是f（0）=f（2）=1+b，由此能求出實數(shù)a和b．

解答：解：（1）∵0≤x≤4，
∴1≤2^x≤16，
∴f（x）=4 ^x-3×2^x+1+3
=（2^x）²-6×2^x+3
=（2^x-3）²-6，
∴當2^x=3時，f（x）=4 ^x-3×2^x+1+3（0≤x≤4）取最小值-6，
當2^x=16時，f（x）=4 ^x-3×2^x+1+3（0≤x≤4）取最大值163．
（2）∵a，b是常數(shù)，且a＞1，
∴f（x）=a2x-x2+b=a1-(x-1)2+b在區(qū)間[0，2]上的最大值是f（1）=a+b，
最小值是f（0）=f（2）=1+b，
∵函數(shù)f（x）=a2x-x2+b（a，b是常數(shù)，且a＞1）在區(qū)間[0，2]上有最大值5，最小值2，
∴

a+b=5 1+b=2

，
解得a=4，b=1．

點評：本題考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意配方法的合理運用．