Question

設(shè)函數(shù)f(x)=x(x-1)(x-a)(a＞1).

(1)求導(dǎo)數(shù)f′(x),并證明f(x)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)x₁、x₂;

(2)若不等式f(x₁)+f(x₂)≤0成立,求a的取值范圍.

Answer 1

解:(1)f′(x)=3x²-2(1+a)x+a.

    令f′(x)=0得方程3x²-2(1+a)x+a=0.

    因Δ=4(a²-a+1)≥4a＞0,

    故方程有兩個(gè)不同實(shí)根x₁、x₂.

    不妨設(shè)x₁＜x₂,由f′(x)=3(x-x₁)(x-x₂)可判斷f′(x)的符號(hào)如下:

    當(dāng)x＜x₁時(shí),f′(x)＞0;

    當(dāng)x₁＜x＜x₂時(shí),f′(x)＜0;

    當(dāng)x＞x₂時(shí),f′(x)＞0.

    因此x₁是極大值點(diǎn),x₂是極小值點(diǎn).

    (2)因f(x₁)+f(x₂)≤0,故得不等式

    x₁³+x₂³-(1+a)(x₁²+x₂²)+a(x₁+x₂)≤0,

    即(x₁+x₂)［(x₁+x₂)²-3x₁x₂］-(1+a)［(x₁+x₂)²-2x₁x₂］+a(x₁+x₂)≤0.

    又由(1)知.

    代入前面不等式,兩邊除以(1+a),

    并化簡(jiǎn)得2a²-5a+2≥0.

    解不等式得a≥2或a≤(舍去).

    因此,當(dāng)a≥2時(shí),不等式f(x₁)+f(x₂)≤0成立.