已知圓的方程是：x2+y2-2ax+2（a-2）y+2=0，其中a≠1，且a∈R．
（Ⅰ）求證：a取不為1的實數(shù)時，上述圓恒過定點；
（Ⅱ）求恒與圓相切的直線的方程．
（Ⅰ）將方程x2+y2-2ax+2（a-2）y+2=0
整理得：x2+y2-4y+2+a（2x-2y）=0．
令
x2+y2-4y+2=0
x-y=0
解之得
x=1
y=1
，
∴定點為（1，1）．
（Ⅱ）圓的圓心坐標為（a，2-a），半徑為：
2
|a-1|
顯然，滿足題意切線一定存在斜率，
∴可設所求切線方程為：y=kx+b，即kx-y+b=0，
則圓心到直線的距離應等于圓的半徑，即
|ka+(a-2)+b|
1+k2
=
2
|a-1|恒成立，
即2（1+k2）a2-4（1+k2）a+2（1+k2）=（1+k）2a2+2（b-2）（k+1）a+（b-2）2恒成立，
比較系數(shù)得
2(1+k2)=(1+k)2
-4(1+k2)=2(b-2)(k+1)
2(1+k2)=(b-2)2
，
解之得k=1，b=0，所以所求的直線方程為y=x．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知圓C：（x-1）2+（y+2）2=9，直線l：（m+1）x-y-2m-3=0（m∈R）
（1）求證：無論m取什么實數(shù)，直線恒與圓交于兩點；
（2）求直線l被圓C所截得的弦長最小時的直線方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

若⊙P：（x-2）2+（y-2）2=18上恰好有三個不同的點到直線l：ax+by=0的距離為2
2
，則l的傾斜角為（　　）
A．
π
12
或
π
6
B．
5π
12
或
π
6
C．
π
12
或
π
4
D．
5π
12
或
π
12

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知圓C：x2+y2+2x-4y+3=0
（1）若圓Q的圓心在直線y=x+3上，半徑為
2
，且與圓C外切，求圓Q的方程；
（2）若圓C的切線在x軸，y軸上的截距相等，求此切線的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知圓C：x2+y2-2x+4y-4=0．
（1）寫出圓C的標準方程；
（2）是否存在斜率為1的直線m，使m被圓C截得的弦為AB，且以AB為直徑的圓過原點．若存在，求出直線m的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知⊙C1：x2+（y+5）2=5，點A（1，-3）
（Ⅰ）求過點A與⊙C1相切的直線l的方程；
（Ⅱ）設⊙C2為⊙C1關于直線l對稱的圓，則在x軸上是否存在點P，使得P到兩圓的切線長之比為
2
？薦存在，求出點P的坐標；若不存在，試說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知直線l過點P（0，2），斜率為k，圓Q：x2+y2-12x+32=0，若直線l和圓Q交于兩個不同的點A，B，問是否存在常數(shù)k，使得
OA
+
OB
與
PQ
共線？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知點P（2，0），及⊙C：x2+y2-6x+4y+4=0．
（1）當直線l1過點P且與⊙C的圓心的距離為1時，求直線l1的方程；
（2）設l2：x+y-2=0交⊙C于A、B兩點，求以線段AB為直徑的圓的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

圓拱橋的一孔圓拱如圖所示，該圓拱是一段圓弧，其跨度AB=20米，拱高OP=4米，在建造時每隔4米需用一根支柱支撐．
（1）建立適當?shù)淖鴺讼�，寫出圓弧的方程；
（2）求支柱A2B2的高度（精確到0.01米）．

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