【題目】在棱長均相等的正四棱錐中, 為底面正方形的重心, 分別為側(cè)棱的中點,有下列結(jié)論:
①平面;②平面平面;③;
④直線與直線所成角的大小為.
其中正確結(jié)論的序號是__________.(寫出所有正確結(jié)論的序號)
【答案】①②③
【解析】如圖,連接,易得,所以平面,結(jié)論①正確;同理
,所以平面平面,結(jié)論②正確;由于四棱錐的棱長均相等,所以
,所以,又,所以,結(jié)論③正確.由于分別為側(cè)棱的中點,所以,又四邊形為正方形,所以,所以直線與直線所成的角即為直線與直線所成的角,為,知三角形為等邊三角形,所以,故④錯誤,故答案為①②③ .
【方法點晴】本題主要考查異面直線所成的角、線面平行的判定、面面平行的判定,屬于難題.求異面直線所成的角主要方法有兩種:一是向量法,根據(jù)幾何體的特殊性質(zhì)建立空間直角坐標(biāo)系后,分別求出兩直線的方向向量,再利用空間向量夾角的余弦公式求解;二是傳統(tǒng)法,利用平行四邊形、三角形中位線等方法找出兩直線成的角,再利用平面幾何性質(zhì)求解.
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【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,求的取值范圍;
(Ⅱ)若函數(shù)的圖象與直線相切,求的值.
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【題目】為了響應(yīng)我市“創(chuàng)建宜居港城,建設(shè)美麗莆田”,某環(huán)保部門開展以“關(guān)愛木蘭溪,保護母親河”為主題的環(huán)保宣傳活動,將木蘭溪流經(jīng)市區(qū)河段分成段,并組織青年干部職工對每一段的南、北兩岸進(jìn)行環(huán)保綜合測評,得到分值數(shù)據(jù)如下表:
南岸 | 77 | 92 | 84 | 86 | 74 | 76 | 81 | 71 | 85 | 87 |
北岸 | 72 | 87 | 78 | 83 | 83 | 85 | 75 | 89 | 90 | 95 |
(Ⅰ)記評分在以上(包括)為優(yōu)良,從中任取一段,求在同一段中兩岸環(huán)保評分均為優(yōu)良的概率;
(Ⅱ)根據(jù)表中數(shù)據(jù)完成下面莖葉圖;
(Ⅲ)分別估計兩岸分值的中位數(shù),并計算它們的平均值,試從計算結(jié)果分析兩岸環(huán)保情況,哪邊保護更好.
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【題目】在圓上任取一點,過點作軸的垂線段, 為垂足,點在線段上,且,點在圓上運動。
(1)求點的軌跡方程;
(2)過定點的直線與點的軌跡交于兩點,在軸上是否存在點,使為常數(shù),若存在,求出點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由。
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【題目】已知函數(shù)
(1)函數(shù),若是的極值點,求的值并討論的單調(diào)性;
(2)函數(shù)有兩個不同的極值點,其極小值為為,試比較與的大小關(guān)系,并說明理由.
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【題目】某廠商調(diào)查甲、乙兩種不同型號電視機在10個賣場的銷售量(單位:臺),并根據(jù)這10個賣場的銷售情況,得到如圖所示的莖葉圖.
為了鼓勵賣場,在同型號電視機的銷售中,該廠商將銷售量高于數(shù)據(jù)平均數(shù)的賣場命名為該型號電視機的“星級賣場”.
(1)當(dāng)時,記甲型號電視機的“星級賣場”數(shù)量為,乙型號電視機的“星級賣場”數(shù)量為,比較的大小關(guān)系;
(2)在這10個賣場中,隨機選取2個賣場,記為其中甲型號電視機的“星級賣場”的個數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(3)若,記乙型號電視機銷售量的方差為,根據(jù)莖葉圖推斷為何值時,達(dá)到最小值.(只需寫出結(jié)論)
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【題目】如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是AA1的中點,畫出過D1、C、E的平面與平面ABB1A1的交線,并說明理由.
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