Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足Sn=n2+n(n∈N*)．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若bn=

2

(n+1)an

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（Ⅲ）若?n∈N^*，使T_n＜C成立，求實(shí)數(shù)C的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）利用當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，即可得出；
（II）利用（I）和裂項(xiàng)求和即可得出T_n．
（III）若?n∈N^*，使T_n＜C成立?（T_n）_min＜C，求出即可．

解答：解：（I）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1+n=2．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-[（n-1）²+n-1]=2n．當(dāng)n=1時(shí)也成立．
∴an=2n(n∈N*)．
（II）∵bn=

2

(n+1)an

=

2

2n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)
=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
（III）若?n∈N^*，使T_n＜C成立?（T_n）_min＜C，
∵n≥1，Tn=1-

1

n+1

≥1-

1

1+1

=

1

2

，即(Tn)min=

1

2

．
∴實(shí)數(shù)C的取值范圍是(

1

2

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，裂項(xiàng)求和、及其等價(jià)轉(zhuǎn)化等是解題的關(guān)鍵．