【題目】平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)橢圓M： =1（a＞b＞0）焦點(diǎn)的直線x+y﹣2 =0交M于P，Q兩點(diǎn)，G為PQ的中點(diǎn)，且OG的斜率為9．
（1）求M的方程；
（2）A、B是M的左、右頂點(diǎn)，C、D是M上的兩點(diǎn)，若AC⊥BD，求四邊形ABCD面積的最大值．

【答案】
（1）解：設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），G（x0，y0），則 ， ， ，

由此可得 ，因?yàn)閤1+x2=2x0，y1+y2=2y0， ，所以 ，

又由題意知，M的一個(gè)焦點(diǎn)為 ，故a2﹣b2=8．因此a2=9，b2=1，

所以M的方程為 ．


（2）解：由題意可設(shè)直線AC的斜率為，所以直線AC的方程為y=k（x+1），

聯(lián)立方程組 可得，（9+k2）x2+2k2x+k2﹣9=0，所以有 ，進(jìn)而可得 ，所以 ，

同理可計(jì)算出 ，

所以四邊形ABCD面積 ，

設(shè) ，令 （t≥2），所以 ，此時(shí) ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取得等號(hào)，

所以四邊形ABCD面積的最大值為 ．


【解析】（1）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），G（x0，y0），利用平方差法推出 ，通過(guò)M的一個(gè)焦點(diǎn)，求出a，b，即可求出M的方程．（2）由題意可設(shè)直線AC的斜率為，所以直線AC的方程為y=k（x+1），聯(lián)立 利用韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式，求解四邊形ABCD面積的表達(dá)式，通過(guò)換元法以及基本不等式求解最值即可．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】下列函數(shù)中，同時(shí)滿足兩個(gè)條件“①x∈R，f（ +X）+f（ -X）=0；②當(dāng)﹣ ＜x＜ 時(shí)，f′（x）＞0”的一個(gè)函數(shù)是（ ）
A.f（x）=sin（2x+ ）
B.f（x）=cos（2x+ ）
C.f（x）=sin（2x﹣ ）
D.f（x）=cos（2x﹣ ）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=（ax﹣1）lnx+ ． （Ⅰ）若a=2，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線l的方程；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=f'（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1 ， x2 ， 其中x1∈（0，e），求g（x1）﹣g（x2）的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2017年3月27日，一則“清華大學(xué)要求從2017級(jí)學(xué)生開始，游泳達(dá)到一定標(biāo)準(zhǔn)才能畢業(yè)”的消息在體育界和教育界引起了巨大反響．游泳作為一項(xiàng)重要的求生技能和運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目受到很多人的喜愛(ài)．其實(shí)，已有不少高校將游泳列為必修內(nèi)容．某中學(xué)為了解2017屆高三學(xué)生的性別和喜愛(ài)游泳是否有關(guān)，對(duì)100名高三學(xué)生進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：

喜歡游泳

不喜歡游泳

合計(jì)

男生

10

女生

20

合計(jì)

已知在這100人中隨機(jī)抽取1人，抽到喜歡游泳的學(xué)生的概率為 ．
（Ⅰ）請(qǐng)將上述列聯(lián)表補(bǔ)充完整；
（Ⅱ）判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為喜歡游泳與性別有關(guān)？
附：

p（K2≥k0）

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k0

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知命題p：函數(shù)f（x）= 是奇函數(shù)，命題q：函數(shù)g（x）=x3﹣x2在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增．則下列命題中為真命題的是（ ）
A.p∨q
B.p∧q
C.￢p∧q
D.￢p∨q

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】函數(shù) 的圖象不可能是（ ）
A.
B.
C.
D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)拋物線E：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為直線l，點(diǎn)A、B在直線l上，點(diǎn)M為拋物線E第一象限上的點(diǎn)，△ABM是邊長(zhǎng)為 的等邊三角形，直線MF的傾斜角為60°．
（1）求拋物線E的方程；
（2）如圖，直線m過(guò)點(diǎn)F交拋物線E于C、D兩點(diǎn)，Q（2，0），直線CQ、DQ分別交拋物線E于G、H兩點(diǎn)，設(shè)直線CD、GH的斜率分別為k1、k2 ， 求 的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知AD與BC是四面體ABCD中相互垂直的棱，若AD=BC=6，且∠ABD=∠ACD=60°，則四面體ABCD的體積的最大值是（ ）
A.
B.
C.18
D.36

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】記U={1，2，…，100}，對(duì)數(shù)列{an}（n∈N*）和U的子集T，若T=，定義ST=0；若T={t1 ， t2 ， …，tk}，定義ST= + +…+ ．例如：T={1，3，66}時(shí)，ST=a1+a3+a66 ． 現(xiàn)設(shè){an}（n∈N*）是公比為3的等比數(shù)列，且當(dāng)T={2，4}時(shí)，ST=30．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）對(duì)任意正整數(shù)k（1≤k≤100），若T{1，2，…，k}，求證：ST＜ak+1；
（3）設(shè)CU，DU，SC≥SD ， 求證：SC+SC∩D≥2SD ．

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