Question

選修4-5：不等式選講
設(shè)函數(shù)f（x）=|2x+1|-|x-2|．
（1）求不等式f（x）≤2的解集；
（2）若{x|f（x）≥t²-t}∩{y|0≤y≤1}≠∅，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用f（x）=|2x+1|-|x-2|=

-x-3(x≤- 1 2 ) 3x-1(- 1 2 ＜x＜2) x+3(x≥2)

，分段解不等式f（x）≤2，最后取并集即可；
（2）將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為f（x）≥t²-t在x∈[0，1]時(shí)有解，從而利用f（x）_max≥t²-t即可求得實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=|2x+1|-|x-2|=

-x-3(x≤- 1 2 ) 3x-1(- 1 2 ＜x＜2) x+3(x≥2)

，
又f（x）≤2，
∴①

x≤- 1 2 -x-3≤2

或②

- 1 2 ＜x＜2 3x-1≤2

或③

x≥2 x+3≤2

，
解①得：-5≤x≤-

1

2

；
解②得：-

1

2

＜x≤1；
解③得：x∈∅；
綜上所述，所求解集為x∈[-5，1]．
（2）依題意得f（x）≥t²-t在x∈[0，1]時(shí)有解?f（x）_max≥t²-t，
∵x∈[0，1]，f（x）=3x-1，f（x）_max=2，
則t²-t≤2，
解得-1≤t≤2．
∴實(shí)數(shù)t的取值范圍是[-1，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，考查分類(lèi)討論思想與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用，屬于難題．