Question

（1）選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣M=（

2 a 2 b

）的兩^E值分別為λ₁=-1和λ₂=4．
（I）求實數(shù)的值；
（II ）求直線x-2y-3=0在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下的像的方程．
（2）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標平面內(nèi)，以坐標原點O為極點x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．已知曲線C的參數(shù)方程為

x=sinα y=2cos2α-2

，
（a為餓），曲線D的鍵標方程為ρsin（θ-

π

4

）=-

3 2

2

．
（I ）將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程；
（II）判斷曲線c與曲線D的交點個數(shù)，并說明理由．
（3）選修4-5：不等式選講
已知a，b為正實數(shù)．
（I）求證：

a2

b

+

b2

a

≥a+b；
（II）利用（I）的結(jié)論求函數(shù)y=

(1-x)2

x

+

x2

1-x

（0＜x＜1）的最小值．

Answer 1

分析：A：（I）先寫出矩陣A的特征多項式，再結(jié)合由于λ₁=-1和λ₂=4是此函數(shù)的零點即可求得a，b．
（II）先直線x-2y-3=0上任一點（x，y）在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下的像（x′，y′），根據(jù)矩陣變換得出它們之間的關(guān)系，從而求直線x-2y-3=0在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下的像的方程
B：（I）利用直角坐標與極坐標間的關(guān)系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進行代換即得直角坐標系，再利用直角坐標方程求解即可．
（II）由上述方程消去y得到：2x²+x-3=0，再根據(jù)根的判別式進行判斷此方程有兩個不等的實根即可得出曲線c與曲線D的交點個數(shù)是2．
C：（I）利用基本不等式a²+b²≥2ab，乘積一定，和有最小值，等號成立的條件是兩正數(shù)相等；
（2）利用（1）的結(jié)論，可推知當(dāng)函數(shù)y=

(1-x)2

x

+

x2

1-x

（0＜x＜1）的最小值，進而最小值也可求．

解答：A：解：（I）矩陣A的特征多項式為：f（λ）=

.

λ-2 -a -2 λ-b

.

，
即f（λ）=λ²-（b+2）λ+2b-2a，
由于λ₁=-1和λ₂=4是此函數(shù)的零點，
∴

3=b+2 -4=2b-2a

?

a=3 b=1

（II）由上知，M=

2 3 2 1

，
直線x-2y-3=0上任一點（x，y）在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下的像（x′，y′）
由

x′   y′

=

2 3 2 1

x   y

得到：

x= -x′+3y′ 4 y= x′-y′ 2

代入x-2y-3=0化簡得到5x′-7y′+12=0．
直線x-2y-3=0在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下的像的方程5x-7y+12=0．
B：解：（I）∵已知曲線C的參數(shù)方程為

x=sinα y=2cos2α-2

，
∴消去參數(shù)α得：x²=-

y

2

，x∈[-1，1]．
（II）由方程為ρsin（θ-

π

4

）=-

3 2

2

．得到：曲線D的方程為：x-y-3=0．
由上述方程消去y得到：2x²+x-3=0，此方程有兩個不等的實根，
∴曲線c與曲線D的交點個數(shù)是2．
C：解：（I）（

a2

b

+

b2

a

）（b+a）=a²+

a 3

b

+b²+

b3

a

≥a²+b²+2ab=（a+b）²；
∴

a2

b

+

b2

a

≥a+b；
（II）解：依題意可知 y=

(1-x)2

x

+

x2

1-x

≥1
∴y=

(1-x)2

x

+

x2

1-x

（0＜x＜1）最小值為1．

點評：本小題主要考查參數(shù)方程化成普通方程、復(fù)合變換與二階矩陣的乘法、不等式的證明等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．特別是本題C考查不等式的應(yīng)用，另外給你一種解題工具，讓你應(yīng)用它來解答某一問題，這是近年考試命題的一種新穎的題型之一，很值得讀者深刻反思和領(lǐng)悟當(dāng)中的思維本質(zhì)．