Question

（2012•自貢三模）如圖所示，己知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱與底面垂直，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，M，N分別是CC₁，BC的中點(diǎn)，P點(diǎn)在A₁B₁上，且滿足

A1P

=λ

A1B1

（λ∈R）．
（I）證明：PN⊥AM；
（II）當(dāng)λ取何值時，直線PN與平面ABC所成的角θ最大？并求出該最大角的正切值；
（III）在（II）條件下求P到平而AMN的距離．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 以AB，AC，AA₁分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，分別求出

PN

與

AM

的坐標(biāo)，要證PN⊥AM，只需求證它們的數(shù)量積為零即可；
（II）設(shè)出平面ABC的一個法向量，表達(dá)出sinθ，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性及正切函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，求出滿足條件的λ值，進(jìn)而求出此時θ的正切值；
（III）求出平面AMN的法向取

m

=（1，-1，2），

AP

=（

1

2

，0，1），利用d=

| AP • n |

| n |

可得結(jié)論．

解答：（Ⅰ） 證明：以AB，AC，AA₁分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz
則P（λ，0，1），N（

1

2

，

1

2

，0），M（0，1，

1

2

）
∴

PN

=(

1

2

-λ，

1

2

，-1)，

AM

=（0，1，

1

2

）
從而

PN

•

AM

=

1

2

-

1

2

=0，∴PN⊥AM；
（Ⅱ）解：平面ABC的一個法向量為

n

=（0，0，1），
則sinθ=|cos＜

PN

，

n

＞|=

| PN • n |

| PN || n |

=

1

(λ- 1 2 )2+ 5 4

而θ∈[0，

π

2

]，當(dāng)θ最大時，sinθ最大，tanθ最大，
故λ=

1

2

時，sinθ取到最大值

2 5

5

時，tanθ=2．
（Ⅲ）解：設(shè)平面AMN的法向量為

m

=（x，y，z）   
由

m

•

AN

=0，

m

•

AM

=0，得

1 2 x+ 1 2 y=0 y+ z 2 =0

，∴可取

m

=（1，-1，2）
∵

AP

=（

1

2

，0，1）
∴d=

| AP • n |

| n |

=

5 6

12

．

點(diǎn)評：利用向量知識解決立體幾何問題的優(yōu)點(diǎn)在于用代數(shù)化的方法解決立體幾何，解題的關(guān)鍵在于用坐標(biāo)表示空間向量，熟練掌握向量夾角公式