Question

已知圓C以（3，-1）為圓心，5為半徑，過(guò)點(diǎn)S（0，4）作直線l與圓C交于不同兩點(diǎn)A，B．
（Ⅰ）若AB=8，求直線l的方程；
（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率為-2時(shí)，過(guò)直線l上一點(diǎn)P，作圓C的切線PT（T為切點(diǎn)）使PS=PT，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（Ⅲ）設(shè)AB的中點(diǎn)為N，試在平面上找一點(diǎn)M，使MN的長(zhǎng)為定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)斜率不存在時(shí)，x=0符合條件； 當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線的方程，再由圓心距的平方與弦長(zhǎng)一半的平方等于半徑的平方求得圓心距，最后由點(diǎn)到直線的距離公式求得l的方程．
（Ⅱ）當(dāng)l斜率為-2時(shí)，直線l方程為y=-2x+4，有x²+（y-4）²=（x-3）²+（y+1）²-25，從而得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（Ⅲ）由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半可得．

解答：解：（Ⅰ）圓心C坐標(biāo)（3，-1），半徑r=5，
由條件可知：圓心C到直線l的距離為3．（3分）
當(dāng)斜率不存在時(shí)，x=0符合條件； （4分）
當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)其為k，
則

|3k+5|

k2+1

=3⇒k=-

8

15

，
則直線l的方程為8x+15y-60=0．
綜上，直線l方程是8x+15y-60=0或x=0；（6分）
（Ⅱ）知直線l方程為y=-2x+4，設(shè)點(diǎn)P（a，4-2a），
則由PC²-r²=PS²得：a²+4a²=（a-3）²+（5-2a）²-25，
⇒a=

9

26

，
所求點(diǎn)P為(

9

26

，

43

13

)；（10分）
（Ⅲ）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半有：
定點(diǎn)M的坐標(biāo)為 (

3

2

，

3

2

)．（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓的方程的應(yīng)用，主要涉及了垂徑定理，切線的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)．當(dāng)直線與圓相交時(shí)，常常過(guò)圓心作弦的垂線，根據(jù)弦長(zhǎng)的一半，圓的半徑及弦心距構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來(lái)解決問(wèn)題．