Question

【題目】已知中心在原點(diǎn)的橢圓，右焦點(diǎn)（1，0），且過(guò) ．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求斜率為2的一組平行弦的中點(diǎn)軌跡方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)橢圓方程為： =1，∵橢圓過(guò)（ ，0），

∴ =1，即a2=3，

∴橢圓方程為：

（2）解：依題意，設(shè)斜率為2的弦所在直線的方程為y=2x+b，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），

則由 y=2x+b 且 得：14x2+12bx+3b2﹣6=0，

∴x1+x2=﹣ ，即x= ，y= ，

兩式消掉b得 y= x．

又弦的中點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，所以 ， ，

∴﹣ ，

故平行弦中點(diǎn)軌跡方程為：y= x（﹣

【解析】（1）根據(jù)橢圓右焦點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出橢圓方程，再結(jié)合橢圓所過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)求得橢圓方程；（2）先設(shè)出斜率為2的弦所在直線的一般方程及先中點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立兩個(gè)方程的到一元二次方程，利用跟魚(yú)系數(shù)的關(guān)系表示出弦中點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得其軌跡方程，再結(jié)合弦的中點(diǎn)在橢圓內(nèi)部這一特點(diǎn)求得軌跡方程的定義域.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需要了解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：才能得出正確答案．