Question

已知函數(,為自然對數的底數).
(1)若曲線在點處的切線平行于軸,求的值；
(2)求函數的極值；
(3)當的值時,若直線與曲線沒有公共點,求的最大值.
(注：可能會用到的導數公式：；）

Answer 1

(1)；(2) 當時,函數無極小值；當,在處取得極小值,無極大值；(3)1．

解析試題分析：（1）依題意，，從而可求得的值；（2），分①時、②討論，可知在上單調遞減，在上單調遞增，從而可求其極值；（3）令，則直線:與曲線沒有公共點方程在上沒有實數解．分與討論即可得答案．
試題解析：(1)由,得.
又曲線在點處的切線平行于軸, 得,即,解得.
(2),
①當時,,為上的增函數,所以函數無極值.
②當時,令,得,. ,;,.
所以在上單調遞減,在上單調遞增,
故在處取得極小值,且極小值為,無極大值.
綜上，當時,函數無極小值；當,在處取得極小值,無極大值.
(3)當時,，
令,
則直線:與曲線沒有公共點, 等價于方程在上沒有實數解.
假設,此時,,
又函數的圖象連續(xù)不斷,由零點存在定理,可知在上至少有一解,與“方程在上沒有實數解”矛盾,故