已知函數(shù)f(x)，當(dāng)x，y∈R時，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．

(1)求證：f(x)是奇函數(shù)；

(2)如果x>0時，f(x)<0，并且f(1)＝－，試求f(x)在區(qū)間[－2,6]上的最值．

解：(1)證明∵函數(shù)定義域為R，其定義域關(guān)于原點對稱．

∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令y＝－x，

∴f(0)＝f(x)＋f(－x)．

令x＝y＝0，∴f(0)＝f(0)＋f(0)，得f(0)＝0.

∴f(x)＋f(－x)＝0，得f(－x)＝－f(x)，

∴f(x)為奇函數(shù)．

(2)設(shè)x1<x2，且x1，x2∈R.

則f(x2－x1)＝f(x2＋(－x1))＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)．

∵x2－x1>0，∴f(x2－x1)<0.∴f(x2)－f(x1)<0.即f(x)在R上單調(diào)遞減．

∴f(－2)為最大值，f(6)為最小值．

∵f(1)＝－，

∴f(－2)＝－f(2)＝－2f(1)＝1，

f(6)＝2f(3)＝2[f(1)＋f(2)]＝－3.

∴f(x)在區(qū)間[－2,6]上的最大值為1，最小值為－3.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1 ( 當(dāng)x為有理數(shù)時)
0(當(dāng)x為無理數(shù)時)
，給出下列關(guān)于f（x）的性質(zhì)：
①f（x）是周期函數(shù)，3是它的一個周期；②f（x）是偶函數(shù)；③方程f（x）=cosx有有理根；④方程f[f（x）]=f（x）與方程f（x）=1的解集相同
正確的個數(shù)為（　�。�
A、1個B、2個C、3個D、4個

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=,求當(dāng)x為何值時,函數(shù)有最大值?

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知函數(shù)f(x)=
1 ( 當(dāng)x為有理數(shù)時)
0(當(dāng)x為無理數(shù)時)
，給出下列關(guān)于f（x）的性質(zhì)：
①f（x）是周期函數(shù)，3是它的一個周期；②f（x）是偶函數(shù)；③方程f（x）=cosx有有理根；④方程f[f（x）]=f（x）與方程f（x）=1的解集相同
正確的個數(shù)為（　　）
A．1個B．2個C．3個D．4個

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=.

(1)當(dāng)a＞0時，解關(guān)于x的不等式f(x)＜0；

(2)若不等式f(x)≥f(1)對x∈R恒成立，求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間．

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