【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,求證: 函數(shù)是偶函數(shù);
(2)若對任意的,都有,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若函數(shù)有且僅有個零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)見解析;(2)的取值范圍為;(3)的取值范圍為.
【解析】試題分析: (1)當(dāng)時, ,定義域?yàn)?/span>.判斷即可證明;
(2)由題意知, 在上恒成立,
即在上恒成立. 分當(dāng)時,當(dāng)時,當(dāng)時,三種情況討論可得實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)當(dāng)時, ,有唯一零點(diǎn),不符合題意;
當(dāng)時,
①若,則,因此在內(nèi)無零點(diǎn),可判斷在內(nèi)最多有兩個零點(diǎn),不符合題意;
②若,則,所以在上單調(diào)增,
在上單調(diào)減,而, ,
所以在內(nèi)有兩個零點(diǎn), 再分,和兩種情況討論,可得實(shí)數(shù)的取值范圍.
試題解析:(1)當(dāng)時, ,定義域?yàn)?/span>.
因?yàn)閷θ我獾?/span>,都有,
所以函數(shù)是偶函數(shù).
(2)由題意知, 在上恒成立,
即在上恒成立.
①當(dāng)時, ,
因?yàn)楫?dāng)時, 取得最小值,所以;
②當(dāng)時, 恒成立;
③當(dāng)時, ,
因?yàn)?/span>,所以的值域?yàn)?/span>,所以.
綜上所述, 的取值范圍為.
(3)當(dāng)時, ,有唯一零點(diǎn),不符合題意;
當(dāng)時,
①若,則,所以在上單調(diào)增,則,
因此在內(nèi)無零點(diǎn),
而在內(nèi)最多有兩個零點(diǎn),不符合題意;
②若,則,所以在上單調(diào)增,
在上單調(diào)減,而, ,
所以在內(nèi)有兩個零點(diǎn),
若,則,所以在上單調(diào)減,又,
此時在內(nèi)無零點(diǎn),不符合題意;
若,則,所以在上單調(diào)增,
在上單調(diào)減,
要使在內(nèi)有兩個零點(diǎn),則,
即,故.
綜上所述, 的取值范圍為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在圓 上任取一點(diǎn) ,點(diǎn) 在 軸的正射影為點(diǎn) ,當(dāng)點(diǎn) 在圓上運(yùn)動時,動點(diǎn) 滿足 ,動點(diǎn) 形成的軌跡為曲線 .
(Ⅰ)求曲線 的方程;
(Ⅱ)點(diǎn) 在曲線 上,過點(diǎn) 的直線 交曲線 于 兩點(diǎn),設(shè)直線 斜率為 ,直線 斜率為 ,求證: 為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為響應(yīng)國家擴(kuò)大內(nèi)需的政策,某廠家擬在2016年舉行某一產(chǎn)品的促銷活動,經(jīng)調(diào)查測算,該產(chǎn)品的年銷量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬件與年促銷費(fèi)用t(t≥0)萬元滿足x=4﹣ (k為常數(shù)).如果不搞促銷活動,則該產(chǎn)品的年銷量只能是1萬件.已知2016年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為6萬元,每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入12萬元,廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品平均生產(chǎn)投入成本的1.5倍(生產(chǎn)投入成本包括生產(chǎn)固定投入和生產(chǎn)再投入兩部分).
(1)求常數(shù)k,并將該廠家2016年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費(fèi)用t萬元的函數(shù);
(2)該廠家2016年的年促銷費(fèi)用投入多少萬元時,廠家利潤最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,O為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓C1: + =1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1 , F2 , 離心率為e1;雙曲線C2: ﹣ =1的左、右焦點(diǎn)分別為F3 , F4 , 離心率為e2 , 已知e1e2= ,且|F2F4|= ﹣1.
(Ⅰ)求C1、C2的方程;
(Ⅱ)過F1作C1的不垂直于y軸的弦AB,M為AB的中點(diǎn),當(dāng)直線OM與C2交于P,Q兩點(diǎn)時,求四邊形APBQ面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】己知直線l1:4x﹣3y+6=0和直線l2:x=﹣1,拋物線y2=4x上一動點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是( )
A.2
B.3
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】1994年到2016年所有關(guān)于某項(xiàng)研究成果的540篇論文分布如下圖所示.
(1)從這540篇論文中隨機(jī)抽取一篇來研究,那么抽到2016年發(fā)表論文的概率是多少?
(2)如果每年發(fā)表該領(lǐng)域有國際影響力的論文超過50篇,我們稱這一年是該領(lǐng)域的論文“豐年”.若從1994年到2016年中隨機(jī)抽取連續(xù)的兩年來研究,那么連續(xù)的兩年中至少有一年是“豐年”的概率是多少?
(3)由圖判斷,從哪年開始連續(xù)三年論文數(shù)量方差最大?(結(jié)論不要求證明)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一名大學(xué)生嘗試開家“網(wǎng)店”銷售一種學(xué)習(xí)用品,經(jīng)測算每售出1盒該產(chǎn)品可獲利30元,未售出的商品每盒虧損10元.根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料,得到該商品的月需求量的頻率分布直方圖如圖所示,該同學(xué)為此購進(jìn)180盒該產(chǎn)品,以x(單位:盒,100≤x≤200)表示一個月內(nèi)的市場需求量,y(單位:元)表示一個月內(nèi)經(jīng)銷該產(chǎn)品的利潤.
(1)根據(jù)直方圖估計(jì)這個月內(nèi)市場需求量x的平均數(shù);
(2)將y表示為x的函數(shù);
(3)根據(jù)直方圖估計(jì)這個月利潤不少于3 800元的概率(用頻率近似概率).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{log2(an﹣1)}(n∈N*)為等差數(shù)列,且a1=3,a2=5,則 ( + +…+ )=( )
A.1
B.
C.2
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)有同一型號的電腦96臺,為了了解這種電腦每開機(jī)一次所產(chǎn)生的輻射情況,從中抽取10臺在同一條件下做開機(jī)實(shí)驗(yàn),測量開機(jī)一次所產(chǎn)生的輻射,得到如下數(shù)據(jù):
13.7 12.9 14.4 13.8 13.3
12.7 13.5 13.6 13.1 13.4
(1)寫出采用簡單隨機(jī)抽樣抽取上述樣本的過程;
(2)根據(jù)樣本,請估計(jì)總體平均數(shù)與總體標(biāo)準(zhǔn)差的情況.
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