Question

（1）已知x、y都是正實數(shù)，求證：x³+y³≥x²y+xy²；
（2）若不等式|a-1|≥

3x+1

+

3y+1

+

3z+1

對滿足x+y+z=1的一切正實數(shù)x，y，z恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用作差法，因式分解，即可得到結論；
（2）根據(jù)柯西不等式證明

3x+1

+

3y+1

+

3z+1

≤3

2

，利用|a-1|≥

3x+1

+

3y+1

+

3z+1

對滿足x+y+z=1的一切正實數(shù)x，y，z恒成立，可得|a-1|≥3

2

，從而可求實數(shù)a的取值范圍．

解答：（1）證明：由x³+y³-x²y-xy²=x²（x-y）+y²（y-x）=（x-y）（x²-y²）=（x-y）²（x+y）…（3分）
又x、y都是正實數(shù)，
∴（x-y）²≥0，x+y＞0，
∴x³+y³-x²y-xy²＞0，
∴x³+y³≥x²y+xy²；…（5分）
（2）解：由題意，根據(jù)柯西不等式有（

3x+1

+

3y+1

+

3z+1

）²≤（1²+1²+1²）[（

3x+1

）²+（

3y+1

）²+（

3z+1

）²]=3[3（x+y+z）+3]=3×6=18，
∴

3x+1

+

3y+1

+

3z+1

≤3

2

…（3分）
又|a-1|≥

3x+1

+

3y+1

+

3z+1

對滿足x+y+z=1的一切正實數(shù)x，y，z恒成立，
∴|a-1|≥3

2

，
∴a≥3

2

+1或a≤1-3

2

，
∴a的取值范圍是（-∞，1-3

2

]∪[1+3

2

，+∞）．…（5分）

點評：本題考查不等式的證明，考查柯西不等式的運用，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，正確運用柯西不等式是關鍵．