Question

如圖，橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，M是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，過F₁的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，△MF₁F₂的面積為4，△ABF₂的周長(zhǎng)為8

2

（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，0），是否存在橢圓上的點(diǎn)P及以Q為圓心的一個(gè)圓，使得該圓與直線PF₁，PF₂都相切，如存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)及圓的方程，如不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)三角形的面積公式及橢圓的定義列出關(guān)于橢圓的三個(gè)參數(shù)a，b，c的關(guān)系，再加上a，b，c本身的關(guān)系，通過解方程求出a，b，c，寫出橢圓的方程．
（II）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)p，設(shè)出其坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)式寫出直線PF₁，PF₂的方程，根據(jù)圓的切線滿足圓心到直線的距離等于半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出有關(guān)點(diǎn)p的坐標(biāo)的方程，再利用點(diǎn)p的坐標(biāo)滿足橢圓的方程，解方程組求得點(diǎn)p的坐標(biāo)．

解答：解：（Ⅰ） 由題意知：

1

2

×2c×b=4即bc=4
又4a=8

2

即a=2

2

，
∵a²=b²+c²
解得 b=c=2
∴橢圓的方程為

x2

8

+

y2

4

=1
（Ⅱ）假設(shè)存在橢圓上的一點(diǎn)P（x₀，y₀），使得直線PF₁，PF₂與以Q為圓心的圓相切，
則Q到直線PF₁，PF₂的距離相等，
∵F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）
∴PF₂：（x₀-2）y-y₀x+2y₀=0； PF₁：（x₀+2）y-y₀x-2y₀=0
d1=

|y0|

(x0-2)2+y02

=

|3y0|

(x0+2)2+y02

=d2
化簡(jiǎn)整理得：8x₀²-40x₀+32+8y₀²=0
∵點(diǎn)在橢圓上，
∴x₀²+2y₀²=8
解得：x₀=2或 x₀=8（舍）   
x₀=2時(shí)，y0=±

2

，r=1，
∴橢圓上存在點(diǎn)P，其坐標(biāo)為(2，

2

)或(2，-

2

)，
使得直線PF₁，PF₂與以Q為圓心的圓（x-1）²+y²=1相切

點(diǎn)評(píng)：求圓錐曲線的方程一般利用待定系數(shù)法，要注意橢圓的三個(gè)參數(shù)的關(guān)系為：a²=b²+c²；解決是否存在性問題，一般先假設(shè)存在，然后利用已知條件求，若求出即存在，求不出，說明不存在．