Question

空氣質(zhì)量指數(shù)PM2.5（單位：μg/m²）表示每立方米空氣中可入肺顆粒的含量，這個值越高，就代表空氣污染越嚴(yán)重：

PM2.5日均濃度	0～35	35～75	75～115	115～150	150～250	＞250
空氣質(zhì)量級別	一級	二級	三級	四級	五級	六級
空氣質(zhì)量類別	優(yōu)	良	輕度污染	中度污染	重度污染	嚴(yán)重污染

甲、乙兩城市2013年12月份中的15天對空氣質(zhì)量指數(shù)PM2.5進(jìn)行檢測，獲得PM2.5日均濃度指數(shù)數(shù)據(jù)如莖葉圖所示：

（1）在15天內(nèi)任取1天，估計(jì)甲、乙兩城市空氣質(zhì)量類別均為優(yōu)獲良的概率；
（2）在甲城市15個檢測數(shù)據(jù)中任取2個，設(shè)X為空氣質(zhì)量類別為優(yōu)獲良的天數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望（用分?jǐn)?shù)表示）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)古典概率的概率公式計(jì)算在15天內(nèi)任取1天，估計(jì)甲、乙兩城市空氣質(zhì)量類別均為優(yōu)獲良的概率；
（2）根據(jù)排列組合的知識，即可求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（1）由莖葉圖可知甲城市在15天內(nèi)空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的共有9天，任取1天，空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的概率為

9

15

=

3

5

，
乙城市在15天內(nèi)空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的共有6天，任取1天，空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的概率為

6

15

=

2

5

，
在15天內(nèi)任取1天，估計(jì)甲、乙兩城市空氣質(zhì)量類別均為優(yōu)或良的概率為

3

5

×

2

5

=

6

25

．
（2）由題意知X的取值為0，1，2，
∴P（X=0）=

C 0 9 C 2 6

C 2 15

=

1

7

，P（X=1）=

C 1 9 C 1 6

C 2 15

=

18

35

，P（X=2）=

C 2 9

C 2 15

=

12

35

．
X的分布列為：

X	0	1	2
P	1 7	18 35	12 35

數(shù)學(xué)期望EX=0×

1

7

+1×

18

35

+2×

9

35

=

36

35

．

點(diǎn)評：本題主要考查莖葉圖的應(yīng)用，以及隨機(jī)變量的分布列的求法．正確理解莖葉圖、相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式、隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式、排列與組合的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．