Question

已知實(shí)數(shù)a＜0，函數(shù)f（x）=ax（x-1）²+a+1（x∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）有極大值-7，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)f（x）在x=1處取得極大值-7，從而可求實(shí)數(shù)a的值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ax（x-1）²+a+1，∴f′（x）=a（3x²-4x+1）．---（2分）
令f′（x）=0，
∵a＜0，∴3x²-4x+1=0，即（3x-1）（x-1）=0，
∴x=

1

3

或x=1
當(dāng)x∈(

1

3

，1)時(shí)，f′（x）＞0，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(

1

3

，1)
當(dāng)x∈（-∞，

1

3

）或x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，

1

3

），（1，+∞）．
（Ⅱ）∵x∈（-∞，

1

3

）時(shí)，f′（x）＜0，x∈(

1

3

，1)時(shí)，f′（x）＞0，x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）在x=1處取得極大值-7．
即a+1=-7，解得a=-8

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是關(guān)鍵．