Question

【題目】如圖，在海島A上有一座海拔1千米的山，山頂設有一個觀察站P，上午11時，測得一輪船在島北偏東30°，俯角為30°的B處，到11時10分又測得該船在島北偏西60°，俯角為60°的C處．
（1）求船的航行速度是每小時多少千米？
（2）又經(jīng)過一段時間后，船到達海島的正西方向的D處，問此時船距島A有多遠？

Answer 1

【答案】
（1）解：在Rt△PAB中，∠APB=60°，PA=1，∴AB= ．

在Rt△PAC中，∠APC=30°，

∴AC= ．

在△ACB中，∠CAB=30°+60°=90°，

∴BC= = = ．

則船的航行速度為 ÷ =2 （千米/時）

（2）解：在△ACD、中，∠DAC=90°﹣60°=30°，

sin∠DCA=sin（180°﹣∠ACB）=sin∠ACB= = = ，

sin∠CDA=sin（∠ACB﹣30°）

=sin∠ACBcos30°﹣cos∠ACBsin30°

= ﹣

= ．

由正弦定理得 = ．

∴AD= = = ．

故此時船距島A有 千米

【解析】（1）先Rt△PAB、Rt△PAC中確定AB、AC的長，進而求得，∠CAB=30°+60°=90°，最后利用勾股定理求得BC，用里程除以時間即為船的速度．（2）利用sin∠DCA=sin（180°﹣∠ACB）=sin∠ACB求得sin∠DCA的值，利用sin∠CDA=sin（∠ACB﹣30°）=sin∠ACBcos30°﹣cos∠ACBsin30°求得sin∠CDA的值，進而利用正弦定理求得AD．